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COMPTE RENDU D'ACTIVITES

5 pages
COMPTE-RENDU D'ACTIVITES 1. Recherche Une large majorite de mes travaux s'articulent autour de la theorie des trajectoires rugueuses (rough paths) initiee par T. Lyons a la fin des annees 90 ([14]). Il s'agit d'une nouvelle approche trajectorielle du calcul stochastique, qui permet une generalisation de la theorie d'Ito a des non-martingales et offre egalement des controles tres fins quant a la regularite des diffusions. La theorie a ete originellement developpee en vue de l'analyse des systemes differentiels stochastiques standards dyt = ?(yt) dxt , y0 = a ? Rm, ou x est un processus stochastique multidimensionnel irregulier en temps (p.s.) et ? un champ de vecteurs plusieurs fois differentiable. Le traitement theorique de cette equation via l'approche rough paths a donne lieu ces dernieres annees a une riche litterature et atteint desormais un niveau de maturite tres eleve, comme l'a recemment rapporte l'ouvrage exhaustif de P. Friz et N. Victoir ([12]). Le nouveau defi de la theorie des trajectoires rugueuses consiste a present a transposer les grands principes de la methode dans des contextes de systemes differentiels moins standards, fini et infini-dimensionnels. C'est dans le cadre de cet objectif tres general que s'inscrivent mes travaux de recherche sur les rough paths. De fac¸on plus precise, j'ai eu l'occasion d'aborder deux grandes classes d'equation: les systemes de Volterra (fini-dimensionnels) et les equations paraboliques.

  • classiques des semigroupes analytiques

  • equations

  • modele des chaos de wiener classiques

  • rough volterra

  • question de la regularite des solutions

  • equation


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COMPTE-RENDU
´ D’ACTIVITES
1.Recherche Unelargemajorit´edemestravauxsarticulentautourdelath´eoriedestrajectoires rugueuses (rough pathse´pera.Ti)initandesanLyons`al]41[lI.)ee´n(09seunagsdit nouvelleapprochetrajectorielleducalculstochastique,quipermetunege´n´eralisationde lathe´oriedItoˆa`desnon-martingalesetoree´galementdescontrˆolestre`snsquanta` lar´egularit´edesdiusions. Lathe´orieae´te´originellementd´evelopp´eeenvuedelanalysedessyst`emesdie´rentiels stochastiques standards m dyt=σ(yt)dxt, y0=aR, o`uxr´irelnnreieulegp(spmetnte).s.sunupsrsoceesstastitochluituqmesnoiidemσun champdevecteursplusieursfoisdi´erentiable.Letraitementthe´oriquedecette´equation vialapprocheroughpathsadonne´lieucesderni`eresanne´esa`unerichelitt´erature etatteintde´sormaisunniveaudematurit´etr`ese´lev´e,commelare´cemmentrapport´e l’ouvrage exhaustif de P. Friz et N. Victoir ([12]). Lenouveaud´edelath´eoriedestrajectoiresrugueusesconsistea`pre´senta`transposer lesgrandsprincipesdelam´ethodedansdescontextesdesyst`emesdi´erentielsmoins standards,nietinni-dimensionnels.Cestdanslecadredecetobjectiftre`sge´n´eral quesinscriventmestravauxderecherchesurlesroughpaths.Defac¸onpluspr´ecise, jaieuloccasiondaborderdeuxgrandesclassesd´equation:lessyste`mesdeVolterra (ni-dimensionnels)etles´equationsparaboliques. 1.1.etlorarroitaVednLqu´eugueuse.erinaontiacfreltienemid´reudystse`Ilsagit Z t yt=a+σ(t, u, yu)dxu,(1) 0 d o`u,dansnotrecadred´etude,x: [0, T]Rprrese´eeuntronpque)ecsssus(othcsait dont les trajectoires sont p.s.γ´eld¨o-hs,neenrinuecopruntriaγ(0,1). Lorsquex estunmouvementBrownienstandard,ondisposedepuislongtempsdunegammetr`es compl`eteder´esultatsassocie´sa`cette´equation(citonsparexemple[16]).Enrevanche, lextensionnaturelledecemode`le`adesbruitsgaussiensplusg´ene´rauxnavaitjusqualors donne´lieu`aaucune´etudesp´ecique.Laparticularite´decesyst`emer´esidebienentendu danslapre´sencedelavariablecourantetaiesu´egrantndelintσ(t, u, yup,´hnemo)ene` quiinduitunede´pendancedesvariationsdelatrajectoirevis-a`-visdetoutsonpasse´. En effet, sisettsont deux instants de [0, T], Z Z t s ytys=σ(t, u, yu)dxu+ [σ(t, u, yu)σ(s, u, yu)]dxu.(2) s0 Unpremiertravail,quiadonn´elieu`alarticle[10]publie´dansStochastics and Dy-namicsppuyants(1)ensae´utidreistse´a`sdthsanousrpaghsilaedemelrumrofnoca, saversionclassique.Deuxtypesder´esultatssontressortisdecettee´tude: 1
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