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COMPTE-RENDU
´ D’ACTIVITES
1.Recherche Unelargemajorit´edemestravauxsarticulentautourdelath´eoriedestrajectoires rugueuses (rough pathse´pera.Ti)initandesanLyons`al]41[lI.)ee´n(09seunagsdit nouvelleapprochetrajectorielleducalculstochastique,quipermetunege´n´eralisationde lathe´oriedItoˆa`desnon-martingalesetoree´galementdescontrˆolestre`snsquanta` lar´egularit´edesdiusions. Lathe´orieae´te´originellementd´evelopp´eeenvuedelanalysedessyst`emesdie´rentiels stochastiques standards m dyt=σ(yt)dxt, y0=aR, o`uxr´irelnnreieulegp(spmetnte).s.sunupsrsoceesstastitochluituqmesnoiidemσun champdevecteursplusieursfoisdi´erentiable.Letraitementthe´oriquedecette´equation vialapprocheroughpathsadonne´lieucesderni`eresanne´esa`unerichelitt´erature etatteintde´sormaisunniveaudematurit´etr`ese´lev´e,commelare´cemmentrapport´e l’ouvrage exhaustif de P. Friz et N. Victoir ([12]). Lenouveaud´edelath´eoriedestrajectoiresrugueusesconsistea`pre´senta`transposer lesgrandsprincipesdelam´ethodedansdescontextesdesyst`emesdi´erentielsmoins standards,nietinni-dimensionnels.Cestdanslecadredecetobjectiftre`sge´n´eral quesinscriventmestravauxderecherchesurlesroughpaths.Defac¸onpluspr´ecise, jaieuloccasiondaborderdeuxgrandesclassesd´equation:lessyste`mesdeVolterra (ni-dimensionnels)etles´equationsparaboliques. 1.1.etlorarroitaVednLqu´eugueuse.erinaontiacfreltienemid´reudystse`Ilsagit Z t yt=a+σ(t, u, yu)dxu,(1) 0 d o`u,dansnotrecadred´etude,x: [0, T]Rprrese´eeuntronpque)ecsssus(othcsait dont les trajectoires sont p.s.γ´eld¨o-hs,neenrinuecopruntriaγ(0,1). Lorsquex estunmouvementBrownienstandard,ondisposedepuislongtempsdunegammetr`es compl`eteder´esultatsassocie´sa`cette´equation(citonsparexemple[16]).Enrevanche, lextensionnaturelledecemode`le`adesbruitsgaussiensplusg´ene´rauxnavaitjusqualors donne´lieu`aaucune´etudesp´ecique.Laparticularite´decesyst`emer´esidebienentendu danslapre´sencedelavariablecourantetaiesu´egrantndelintσ(t, u, yup,´hnemo)ene` quiinduitunede´pendancedesvariationsdelatrajectoirevis-a`-visdetoutsonpasse´. En effet, sisettsont deux instants de [0, T], Z Z t s ytys=σ(t, u, yu)dxu+ [σ(t, u, yu)σ(s, u, yu)]dxu.(2) s0 Unpremiertravail,quiadonn´elieu`alarticle[10]publie´dansStochastics and Dy-namicsppuyants(1)ensae´utidreistse´a`sdthsanousrpaghsilaedemelrumrofnoca, saversionclassique.Deuxtypesder´esultatssontressortisdecettee´tude: 1