Cours d'Automatique Master de Mathématiques, Université d'Orléans ...

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Cours d’Automatique
Master de Mathématiques, Université d’Orléans,
premier trimestre
Emmanuel Trélat et Thomas Haberkorn2Table des matières
1 Rappels 5
1.1 Rappels d’algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Exponentielle de matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Théorème de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Un énoncé général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Systèmes différentiels linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Applications en théorie du contrôle . . . . . . . . . . . . . 11
2 Modélisation d’un système de contrôle 13
2.1 Exemples de systèmes de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 En mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Electricité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 Chimie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4 Biologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.5 Equations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Représentation interne des systèmes de contrôle linéaires . . . . . 16
2.3 Représentation externe des systèmes de contrôle linéaires . . . . 16
3 Contrôlabilité 21
3.1 Ensemble accessible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Contrôlabilité des systèmes linéaires autonomes . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Cas sans contrainte sur le contrôle : condition de Kalman 26
3.2.2 Cas avec contrainte sur le contrôle . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.3 Equivalence linéaire de systèmes . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.4 Forme de Brunovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Contrôlabilité des systèmes linéaires instationnaires . . . . . . . . 31
3.4 Contrôlabilité des systèmes non linéaires . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.1 Application entrée-sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.2 Contrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Stabilisation 41
4.1 Systèmes linéaires autonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
34 TABLE DES MATIÈRES
4.1.2 Critère de Routh, critère de Hurwitz . . . . . . . . . . . . 42
4.1.3 Stabilisation des systèmes de contrôle linéaires autonomes 43
4.2 Interprétation en termes de matrice de transfert . . . . . . . . . . 45
4.3 Stabilisation des systèmes non linéaires. . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.2 Stabilisation locale d’un système de contrôle non linéaire. 47
4.3.3 Stabilisation asymptotique par la méthode de
JurdjevicQuinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Observabilité 51
5.1 Définition et critères d’observabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Stabilisation par retour d’état statique . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Observateur asymptotique de Luenberger . . . . . . . . . . . . . 55
5.4 Stabilisation par retour dynamique de sortie . . . . . . . . . . . . 56Chapitre 1
Rappels
1.1 Rappels d’algèbre linéaire
1.1.1 Exponentielle de matrice
Soit IK = IR ou C, et soit k·k une norme multiplicative sur M (IK) (i.e.n
kABk6kAkkBkpour toutes matricesA,B∈M (IK); par exempleles normesn
d’opérateurs sont multiplicatives).
Définition 1.1.1. SoitA∈M (IK). On définit l’exponentielle de la matriceAn
par :
+∞X kAAexp(A) = e = .
k!
k=1
C’est une série normalement convergente dans le BanachM (IK), vu quen

q q qk k kX X X A A kAk kAk 6 6 6 e . k! k! k! k=p k=p k=p
AProposition 1.1.1. – Pour tout A ∈ M (IK), on a e ∈ GL (IK), etn n
A −1 −A(e ) = e .
– L’application exponentielle est IK-analytique (et donc en particulier est de
∞classe C sur le corps IK).
– La différentielle de Fréchet dexp(0) de l’application exponentielle en 0 est
égale à l’identité sur M (IK).n
– Pour toutes matrices A,B ∈M (IK) qui commutent, i.e. AB = BA, onn
a :
A+B A Be = e e .
−1A −1 PAP– Si P ∈GL (IK), alors Pe P = e .n
tA ′– Pour A ∈ M (IK), l’application f(t) = e est dérivable, et f (t) =n
tA tAAe = e A.
56 CHAPITRE 1. RAPPELS
1.1.2 Réduction des endomorphismes
2L’espace vectoriel M (IK) est de dimension n sur IK, donc les élémentsn
2nI,A,...,A sont linéairement dépendants. Par conséquent il existe des
polynômes P annulateurs de A, i.e. tels que P(A) = 0. L’anneau IK[X] étant
principal, l’idéal des polynômes annulateurs de A admet un unique générateur
normalisé, i.e. un unique polynôme de plus petit degré, dont le coefficient
dominant est égal à 1, annulant A; on l’appelle polynôme minimal de la matrice
A, noté π .A
Par ailleurs, le polynôme caractéristique de A, noté χ , est défini par :A
χ (X) = det (XI−A).A
Théorème 1.1.2 (Théorème de Hamilton-Cayley). χ (A) = 0.A
En particulier, le polynôme minimal π divise le polynôme caractéristiqueA
χ . Notons que deg χ =n et deg π 6n.A A A
Exemple 1.1.1. Pour une matrice N ∈ M (IK) nilpotente, i.e. il existe unn
p pentier p > 1 tel que N = 0, on a nécessairement p 6 n, π (X) = X etN
nχ (X) =X .N
Exemple 1.1.2. Pour une matrice compagnon, i.e. une matrice de la forme :
 
0 1 0 ··· 0
 . . . .. . . . . .. 0 . 
 . .A = . . ,. . . . . .. . 0 
 0 0 ···0 1
−a −a ··· −a −an n−1 2 1
on a :
n n−1π (X) =χ (X) =X +a X +···+a X +a .A A 1 n−1 n
n
Le scalaireλ∈ IK est dit valeur propre s’il existeun vecteur non nulv∈ IK ,
appelé vecteur propre, tel que Av = λv. L’espace propre associé à la valeur
propreλ est défini par :
E(λ) = ker(A−λI) ;
c’est l’ensemble des vecteurs propres de A pour la valeur propreλ.
Lorsque IK = C, les valeurs propres de A sont exactement les racines du
polynôme caractéristiqueχ . En particulier on a :A
r rY Y
m si iχ (X) = (X−λ ) et π (X) = (X−λ ) ,A i A i
i=1 i=1
avec s 6 m . L’entier s (resp. m ) est appelé ordre de nilpotence (resp. mul-i i i i
tiplicité) de la valeur propre λ . L’espace caractéristique de la valeur propre λi i
est défini par :
siN(λ ) = ker(X−λ ) .i i