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Cours de maitrise de math, MMB B2 Notes succintes

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Cours de maitrise de math, MMB B2 Notes succintes

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u
recouvren
te
t
utilisera
es
t
;
surfaces
2.
tables.
si
Bande
d
Möbius.
t
orien
son
de
est
E E (U,φ) U
2R φ :U →E
E
(U ,φ )i i
φ (U ) Ei i
−1 −1
φ(U )∩φ (U ) =∅ W :=φ (φ(U )∩φ (U )) φ ◦φ Wi j j i j j ii j
−1
φ ◦φij
2R 0
3R
3Run
morceaux,
our
T
on
oute
de
surface
son
comp
critiques
acte
ariables
admet
ste
une
t
métri
a
qu
de
e
dans
riemannienne.
A
Preuv
p
e
applicat
Rep
tre
ose
car
sur
du
les
cas
partiti
on
o
p
ns
surje
de
exercice
l'unité,
régulière
etc.
ble
A
n
dmis
pas
ici.
et
Remarque
d'un
Certaines
t
métriques
(admis)
r
une
iema
.
nniennes
régulières
n
taire
e
Lemme
son
une
t
existe
pas
que
obten
sur
ues
degré
dans
ul.
Lemme
aleur
(exercice).
:
!
Si
P
app
ar
la
exemple
toute
la
surface
métr
autre,
ique
v
plate
de
sur
Preuv
le
ici,
tore
dicile
sphère
ramène
la
lo
,
les
à
ert
cause
dans
du
Degré
:
s
Théorème
hangemen
de
On
Hadamard
régulière
:
orien
toute
e
surface
v
fermée
Gaus-Bonnet
dans
e
ur
s
s
n
a
de
une
Preuv
courbure
l
qui
régulière.
est
en
strictemen
1
t
1.
p
2-forme
ositiv
applications
e
:
en
ec
un
Rapp
p
est
o
toute
i
degré
n
on
t.
v
5.2
n'est
Gauss-Bonnet
Remarque
p
le
our
Preuv
les
Découp
surfaces
e
dans
Dénition
tégration
application
in
d'une
Théorème
fermée
Soit
une
une
l'ensem
une
des
surface
aleurs
fermée
est
dans
mesure
à
ulle.
ne
e
.
dmis
Alors
mais
l'in
très
tégrale

de
se
la
à
cou
question
r
cale
b
our
ur
applications
e
ouv
de
de
ramè
v
est
de
ég
.
ale
des
à
ion
un
NB
m
Soit
ultiple
c
en
fait
tier
:
de
application
se
en
on
surface
.
tables
Cet
Il
e
xi
n
des
tier
aleurs
est
de
le
,
de
l
gré
complémen
de
e
l'application
t
de
mesure
Gauss.
ulle.
Dénition
Soit
Un
théorème
p
e
oin
particulier.
t
app
critique
ica
d'une
ion
application
Il
d'une
un
surface
tier
dans
:
une
tel
autre
:
est
p
un
toute
p
dim
oin
en
t
,

a
la
des
dié-
le
ren
v
tielle
ort
n'e
Remarque
s
n
t
2.
pas
our
injectiv
v
e.
régulière
Dénition
de
Une
,
v
a
aleur
e,
critique
cti
d'une
pas
application
sign
est
Jac
l'image
.
d'un
degré
p
elle
oin
On
t
e
critique.
!
Lemme
er
de
surfac
Sard
en
:
etc.
p
35
our
une
3R
2T
3R
3R
3S R S

2 2R R
0f : S → S
f
0f :S→S k∈Z
0w S Z Z
∗f w =k w ;
0S S
y f
X
( (d f)) =k .x
f(x)=y
k f
fsurface
tisymétriques
etc.
T
-forme.
riangulations
à
Dénition
fonction.
T
dans
riangulations
endan
Dénition
t
T
,
riangulations
-formes,
plus
e
nes.
un
Dénition
.
T
un
riangulations
Corollaire
homotop
triangulations
es.
Exemple
Lemme
p
(A
2
dmis)
diéren
Soit
Exemple
5.3
d'une
une
el
surface,
.
et
asso
soit
Dénition
morphisme.
ciée
et
a
diéo
b
par
in
deux
d'aire
triangulations
toutes
de
notion
t
caractéristique
.
p
Il
,
existe
Lemme
un
tores
e
3
triangulation
F
arian
Dénition
v
une
homotop
tielle
e
In
à
sur
In
e.
et
ormes
une
à
tri
ormen
a
de
ngulation
Dénition
Lemme
.
plus
c
ne
Aire
que
une
.
tég
Propriété
ion
et
ert
que
Lemme
1-formes.
36
des
.
.
Soit
Exemple
une
T
;
riangulations
les
de
de
our
on
p
même
.
d'Euler.
Du
la
tore.
our
Calculs
ond
de
Corresp
caractéristique
our
d'Euler...
riemannienne.
Dénition
puis
Caractéristique
à
d'Euler
e
d
trous,
'
5.4
u
ormes
ne
tielles
triangulation.
u
Remarque
métriq
P
.
as
Diéren
nécessaire
d'une
que
Dénition
ce
tégration
soit
1-forme
une
un
triangulation
courb
!
Rapp
Exemples
F
des
an
p
dans
olyèd
ciée
r
F
e
t
s
EV
réguliers.
dim
Lemme
.
si
2-formes
Dénition
canonique
.
-forme
est
hoisi.
plus
paramétrage
n
Dénition
e
asso
que
à
,
du
,
In
alors
r
Dénition
t
!
sur
t
ouv
an
à
v
ord.
a
Indép
duite
t
ro
t
trous,
0S T T S
00 0 00T T T T T
2S
0 0T T χ(T ) =χ(T)
S S
2 22 S 0 T
11 Ω
2R 1
2S Ω (S)
2
2
df du
u∧v u,v
d(fu) =df∧u+fduune
En
1
Soit
t
ord.
On
une
Soit
1-forme
telle
sur
asso
un
faire
triangle
oilé
b
ort
de
donc
du
que
singuliers
p
.
r
Alors
disque.
:
unit
s
de
t
ouv
oin
.
p
me
aux
v
(extérieurs)
exi
angles
que
les
toute
t
ste
Preuv
soit
e
connexion,
Explicite
ciée
:
emen
son
régulier,
les
la

,
:
Il
lors
d
A
unis
,
c
puis
é
on
un
applique
our
une
fo
i
à
n
surface,
tégration
c
à
,
c
une
haque
:
terme.
:
F
P
orm
.
ule
il
de
1-forme
Stok
On
es
5.5
Soit
Lemme
disque.
surface,
au
la
omorphe
ouv
un
relati
ouv
compact
e
b
r
à
t
:
relativ
On
emen
v
t
i
compact,
Preuv
à
de
b
our
ord
sque
régulier
de
par
e
mo
hoisit
r
37
c
ert
eaux.
t
Alors,
de
p
soit
our
P
toute
toute
1-forme
-
homé
r
sur
et
morceaux,
supp
:
dans
par
a
régulier
e
ord
une
b
Théorème
à
il
,
ste
de
fonction
compact
sur
t
telle
Preuv
donc
e
eet
P
.
ar
our
déc
2-forme
omp
sur
osition
,
en
exi
élémen
une
ts
remarque
triangulaires.
que
Puis
:
utilisation
.
de
Gauss-Bonnet
l'in
olygonal
v
Soit
ariance
une
par
e
diéomor-
soit
phismes
à
et
un
p
e
ass
t
a
v
ge
t
dans
de
emen
à
relativ
ord
p
diéomorphe
our
un
un
Alors
triangle.
1-forme
Dénition
considère
ert
singularité.
-forme
ec
fermées.
a
Exemple
re
La
a
diéren
ecteurs
tielle
e
d'une
sut
fonction
le
est
p
fermée.
les
Dénition
i
F
s
ormes
v
exactes.
m
Lemme
d'un
de
métrique.
P
c
oincaré
un
Soit
hamps
ouv
un
Propriété
2u Ω R
Z Z
du = v .
Ω ∂Ω
u =adx+bdy
Ω⊂S
u S Z Z
du = v .
Ω ∂Ω
2R
1
2Ω R u Ω
du = 0 f R u =df w Ω
u w =du
S Ω ⊂ S S
Z Z
Kda = 2π− kds .
Ω ∂Ω
2R
v
u(x) =g(D v,Jv) .x
du =Kda
du(v,Jv) =v.g(D v,Jv)−Jv.g(D v,Jv)−g(Dv,Jv]v,Jv) ,Jv v [
du(v,Jv) =g(D D v,Jv)−g(D D v,Jv)−g(Dv,Jv]v,Jv) ,v Jv Jv v [
du(v,Jv) =K .
S Ω S
Z Z
X
Kda = 2π− kds+ α ,i
Ω ∂Ω i
αicaractéristique
angle
précéden
e
son
Appro
sit
ximation
angles
p
deg
ar
est
des
On
réguliers.
on
5.6
que
Gauss-Bonnet
t
in
que
trinsèque
é
Théorème
somme
Soit
à
Preuv
Preuv
une
ho
surface
triangulation,
(in
le
trinsèque).
On
L'in
e
tégrale
térieurs
de
moins
la
extérieurs,
courbure
le
de
r
sommet.
de
est
application
égale
Gauss
à
égale
haque
sa
c
d'Euler.
our
e
p
c
est
i
térieurs
une
.
et
Corollaire
applique
Si
théorème
in
t.
est
remarque
un
l
e
s
surface
in
dans
son
angles
la
des
les
,
s
alo
et
r
38
s
de
S S 4πχ(S)
3f R
π 2πfrom
F
J.
[BG93]
L
M
S.
.
ometry
Berger
v
and
1994
B.
r
G
u
o
ie
s
987.
tiaux.
of

curv
ométrie
c.
diér
T
entiel
P
le
uese.
:
D.
variétés,
in,
c
taine.
ourb
nnian
es
Springer,
e
V.D.
t
v
surfac
c
es
spa
.
Bul
Presses
Math.
univ
26
ersitaires
45
de
ranslated
F
the
rance,
o
1993.
tug
[dC76]
[GHL87]
Manfredo
Gallot,
P
H
.
l
do
and
Carmo.
Lafon
Dier
R
ential
ma
ge
Ge
ometry
.
of
1
curves
[Sed94]
and
Sedykh.
surfac
our
es
ertices
.
a
Pren
on
tice-Hall
ex
Inc.,
ce
En-
e.
glew
l.
o
ond.
o
So
d
,
Clis,
:177180,
N.J.,
.
1976
Bibliographie
.