COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L'INGENIEUR 2 Cours de ...

Description

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L’INGENIEUR 2
Cours de filière MAM, ISTIL deuxième année
Ionel Sorin CIUPERCA
Le but de ce cours est d’introduire un outil très utilisé dans la modélisation mathéma-
tique : les distributions.
Le cours s’adresse en principal à des élèves des écoles d’ingénieurs filière modélisation ma-
thématique.
La plupart des résultats sont donnés sans démonstration, les détails des preuves étant
données en classe.
1Table des matières
1 Une introduction intuitive à la théorie de la mesure et à l’intégrale de
Lebesque 3
1.1 La mesure de Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 L’intégrale de Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Les espaces de Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 La théorie des distributions. 9
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 L’espaceD( ) des fonctions test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 La notion de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
02.4 Convergence dansD ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Dérivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
12.6 Produit entre une fonction C et une distribution . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Primitives des en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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Sujets

• cours
• mathématiques
• mathématique
• cours de

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COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L’INGENIEUR 2

Cours de filière MAM, ISTIL deuxième année

Ionel Sorin CIUPERCA

Le but de ce cours est d’introduire un outil très utilisé dans la modélisation mathéma- tique :les distributions. Le cours s’adresse en principal à des élèves des écoles d’ingénieurs filière modélisation ma- thématique. La plupart des résultats sont donnés sans démonstration, les détails des preuves étant données en classe.

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Table des matières

1

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3

Une introduction intuitive à la théorie de la mesure et à l’intégrale de Lebesque 3 1.1 La mesure de Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 L’intégrale de Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Les espaces de Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

La théorie des distributions. 9 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 L’espaceD(Ω) 11des fonctions test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 La notion de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Convergence dansD 0 (Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Dérivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6 Produit entre une fonctionC ∞  . . . . . . . . . . . . . .et une distribution 19 2.7 Primitives des distributions en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Convolution des distributions et applications à la résolution des équations différentielles 21 3.1 Support d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.1 Support d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.2 Définition du support d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 La convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Applications à la résolution des équations différentielles linéaires à coeffi- cients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3.2 Solution fondamentale du laplacien et applications . . . . . . . . . . 28

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Chapitre 1

Une introduction intuitive à la théorie de la mesure et à l’intégrale de Lebesque

1.1 La mesure de Lebesque On va introduire d’abord la mesure de Lebesque qui est en fait un nombre réel positif (≥0) qu’on associe à “tout” ensemble deIR n . En fait on n’associera à tout ensemble deIR n une mesure mais seulement à certains en- sembles qu’on peut grouper dans une collection des ensembles appelléetribu de Lebesque. Mais on evitera les complications mathématiques et on fait comme si on associe une mesure à tout ensemble deIR n . En fait les ensembles auxquelles on n’associe pas de mesure sont des ensembles qui ne sont jamais utilisés dans les applications (des ensembles qui ne sont pas intuitives !). Dans la suite pour tout ensembleXon noteraP(X)l’ensemble des parties deX. Définition 1.1.SoitXun ensemble et soitµ:P(X)→[0,+∞]≡IR + ∪ {+∞}. On dit queµest unemesuresurXsi a)µ(∅) = 0(ici∅est l’ensemble vide) b)Pour toute suite des ensembles{A n } n∈ IN avecA n ⊂X,∀n∈INet avecA n disjointes deux à deux (A n ∩A m =∅,∀n6=m) on a : µ  ∪ n∈ IN A n  = X µ(A n ). n∈ IN Conséquences : 1)SiA 1 , A 2 ,∙ ∙ ∙A n ⊂XavecA i ∩A j =∅,∀i6=jalors n µ(∪ i n =1 A i ) = X µ(A i ). i=1 En particulier, pour tousA, B⊂XavecA∩B=∅on a µ(A∪B) =µ(A) +µ(B). 3

2)SiA, B⊂XavecA⊂Balors µ(A)≤µ(B) (carB=A∪(B−A)avecA∩(B−A) =∅doncµ(B) =µ(A) +µ(B−A). Mais comme µ(B−A)≥0, on a le résultat.) n Dans la suite on va s’intéresser à des mesures définies sur l’espace euclidienIR. Proposition 1.2.(Résultat admis) Il existe une mesureλ n sur IR n telle que pour tout ensemblePdu type “pavé ouvert” de la forme P= ]a 1 , b 1 [×]a 2 , b 2 [∙ ∙ ∙]a n , b n [⊂IR n avec−∞< a i < b i <+∞, i= 1,∙ ∙ ∙n, on a λ n (P) = (b 1 −a 1 )(b 2 −a 2 )∙ ∙ ∙(b n −a n ). Cette mesureλ n s’appellemesure de Lebesquesur IR n . Remarque 1.3.Cette proposition nous donne : Sin= 1etP= ]a, b[, alorsλ 1 (P) =b−a. Dans ce cas la mesure est lalongueurdu segment]a, b[. Sin= 2etP=]a 1 , b 1 [×]a 2 , b 2 [, alorsλ 2 (P) = (b 1 −a 1 )(b 2 −a 2 )et la mesure estl’airedu rectangle]a 1 , b 1 [×]a 2 , b 2 [. Sin= 3etP=]a 1 , b 1 [×]a 2 , b 2 [×]a 3 , b 3 [, alorsλ 3 (P) = (b 1 −a 1 )(b 2 −a 2 )(b 3 −a 3 )et la mesure est levolumedu parallelipipède]a 1 , b 1 [×]a 2 , b 2 [×]a 3 , b 3 [. Alors la mesure de Lebesque généralise respectivement la longueur, l’aire, le volume des ensemble en IR,IR 2 ,IR 3 respectivement. Remarque 1.4.Pour calculer la mesure de Lebesque d’un ensemble quelconque en IR n il faut décomposer cet ensemble en une union (éventuellement infinie) des pavés et faire la somme des mesures de chaque pavé. Pour un ensemble arbitraire ceci peut être assez complique (par exemple pour un disque dans le plan). On verra plus loin une méthode plus simple pour calculer la mesure de Lebesque d’un ensemble arbitraire. Le résultat suivant dit que la mesure de Lebesque de tout singleton est égale à zero : Proposition 1.5.Pour toutx∈IR n on a λ n ({x}) = 0. Démonstration.voir cours. On déduit alors que pour tousa, b∈IRaveca < bon a λ 1 (]a, b]) =λ 1 ([a, b[) =λ 1 ([a, b]) =λ 1 (]a, b[) =b−a (car par exemple]a, b ]] =a, b[∪{b}doncλ 1 (]a, b]) =λ 1 (]a, b[) +λ 1 ({b})et on a le résultat en utilisant le fait queλ 1 ({b}) = 0.) On a aussi :

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Proposition 1.6.SiA⊂IR n est au plus dénombrable (c’est à dire finie ou dénombrable) alorsλ n (A) = 0. Démonstration.voir cours. Exemples : 1. L’ensemble{1,2}est un ensemble de mesure de Lebesque 0 enIR.

2. L’ensembleQest un ensemble de mesure de Lebesque 0 endes nombres rationels IR. De mêmeQ n est de mesure de Lebesque 0 enIR n . Question :Y-a-t’il des ensembles de mesure nulle qui ne soient pas au plus dénombrable ? La réponse est OUI, au moins enIR n avecn≥2, comme il résulte de la proposition suivante : Proposition 1.7.SoitAest un segment en IR 2 , par exemple de la forme : A= [a, b]× {c}aveca, b, c∈IR < b, a. Alors la mesure de Lebesque deAen IR 2 est nulle (c’est à direλ 2 (A) = 0). Démonstration.voir cours. Ce résultat peut se généraliser au cas d’une courbe arbitraire enIR 2 , ayant une certaine régularité (par exemple de classeC 1 par morceaux). En fait on a le résultat général suivant (preuve assez difficile) : Proposition 1.8.Toute variété (avec une certaine régularité) de dimensionm < ndans IR n est de mesure de Lebesque 0 en IR n . Conséquence :SoitΩ⊂IR n un ensemble ouvert et régulier et∂Ωsa frontière. Alors on aλ n (∂Ω) = 0(car∂Ωest une variété de dimensionn−1enIR n ). Ceci implique ¯ ¯ immédiatement :λ n (Ω) =λ n (Ω), oùΩest l’adhérence deΩenIR n . Définition 1.9.SoitA⊂IR n . On dira qu’une propriété surAa lieupresque pour tous x∈A(on va noter :p.p.x∈A) si l’ensemble desx∈Asur lequel la propriété n’a pas lieu est un ensemble de mesure de Lebesque nulle. Exemple :Soitf:IR→IRavec    2 0 1 si si si x6= 1 x x e 1= 3= f(x) = tx6= 3 Alorsf(x) = 0 x, p.p.∈IR(car l’ensemble desxtels quef(x)6= 0est{1,3}qui est un ensemble de mesure nulle).

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1.2 L’intégrale de Lebesque On ne donnera pas la définition exacte de l’intégrale de Lebesque, car ceci demande un appareil mathématique assez élaboré. On donnera en fait de manière intuitive cette notion, en donnant ses propriétés, car elle ressemble à l’intégrale de Rieman. Dans la suite on va noterIR=IR∪ {±∞} ≡[−∞,+∞]. On utilise les conventions : 0∙(±∞) = 0et∞ − ∞n’est pas définie. “Définition” : SoitA⊂IR n etf:A→IR. L’intégrale de Lebesque defsurA(quand elle existe) est un élément∈IRnoté R A f(x)dλ n ou aussi R A f(x)dx, qui satisfait les propriétés (L1)-(L10) données ci-dessus. Les propriétés de l’intégrale de Lebesque sont les suivantes : (L1) Pour toute constantec∈IRon a R A c dx=cλ n (A). Conséquence :λ n (A) = R A 1dx. (L2) (linéarité) : Sif 1 , f 2 :A→IRetα 1 , α 2 ∈IRalors Z A α 1 f 1 1 Z A f 1 (x)dx+α 2 Z A f 2 (x)dx. [ (x) +α 2 f 2 (x)]dx=α (L3) (relation de Chasles) SiA 1 ∩A 2 =∅alors Z A 1 ∪A 2 f dx= Z A f dx+ Z A 2 f dx. 1 ¯ (L4) SiB⊂IR n avecλ n (B) = 0etf:B→IRalors Z B f(x)dx= 0. (L5) Sifest intégrable surAetf(x) =g(x)p.p. x∈Aalorsgest intégrable surAet R A f(x)dx= R A g(x)dx. Conséquence :Sif(x) = 0p.p. x∈Aalors R A f(x)dx= 0. (L6) (intégration des inégalités) Sif(x)≤g(x)p.p. x∈Aalors R A f(x)dx≤ R A g(x)dx. (L7) Sif(x)≥0p.p. x∈Aet R A f(x)dx= 0alorsf(x) = 0p.p. x∈A. (L8) (inégalité triangulaire)  R A f(x)dx  ≤ R A |f(x)|dx. (L9) SoitΩ⊂IR n ouvert etf: Ω→IRune fonction continue par morceaux (c’est à ◦ dire : il existe une partitionA 1 , A 2 ∙ ∙ ∙A m deΩtelle quefsoit continue à l’intérieurA i de chaqueA i ). Alorsfest intégrable Lebesque surΩsi et seulement sifest intégrable Riemann surΩet en plus on a Z Ω f(x)dλ n = Z Ω f(x)dx où la deuxième intégrale désigne l’intégrale de Riemann surΩet cette intégrale s’écrit encore m X 1 Z A i f(x)dx. i= 6

Remarque 1.10.Donc dans la “plupart” des cas rencontrés dans les applications, l’inté- grale de Lebesque et celle de Rieman coincident. Exemple 1.Soitf: ]−1,+∞[→IRdonnée par f(x) =  x 1 1 3 si si x x∈ ∈[ [1, − + 1, ∞ 1] [ (1.1) Alors Z [−1,+∞[ f(x Z −1 1 f(x)dx+ Z 1 ∞ f(x)dx= 2 +  − 1 2x 2  1 ∞ =2+ 1 2 = 5 2 . )dx= Exemple 2.(exemple de fonction intégrable Lebesque et non-intégrable Rieman) Soitf:]0,1[→IRdonnée par f(x) =  0 1 si si x∈ x (I ∈ R− Q∩ Q 0 ) ] ∩ ,1[ 0],1[. (1.2) oùQdésigne l’ensemble des nombres rationnels. D’un exemple précédent on sait que la mesure de Lebesque deQ(donc deQ∩]0,1[) est nulle, donc on af(x) = 0p.p. x∈]0,1[ donc de la Conséquence deL5)on déduit quefest intégrable Lebesque et que Z ] f dλ 1 = 0. 0,1[ D’autre part il est bien connu que la fonctionfn’est pas intégrable au sense de Rieman. Ceci semble contredir la propriétéL9)mais la fonctionfn’est continue enaucun point, donc la propriétéL9)ne s’applique pas. L10)(Théorème de convergence dominée de Lebesque) SoitA⊂IR n ,{f k } k∈ IN une suite des fonctionsf k :A→IRintégrables Lebesque surAetfune fonctionf:A→IR. On suppose que i):f k (x)→f(x)pourk→+∞ x, p.p.∈A(convergence simple) ii): Il existeg:A→IRfonction Lebesque integrable avecg(x)≥0, p.p. x∈Atelle que |f k (x)| ≤g(x) x, p.p.∈A,∀k∈IN. Alorsfest integrable Lebesque surAet en plus Z f k (x)dx→ Z f(x)dx,pourk→+∞. A A On finit cette section en remarquant que la notion d’integrabilité Lebesque s’étend de manière naturelle à des fonctionsf:A→CavecCl’ensemble complexe :sif=f 1 +if 2 avecf 1 , f 2 :A→IReti=− √ 1, on dit quefest integrable Lebesque si et seulement sif 1 etf 2 sont integrables Lebesque. En plus on a : R A f dλ n = R A f 1 dλ n +i R A f 2 dλ n et aussi l’inégalité triangulaire :  R A f(x)dx  ≤ R A |f(x)|dx.

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1.3 Les espaces de Lebesque SoitΩ⊂IR n un ouvert etpun nombre tel que1≤p≤+∞. Cas 1)1≤p <+∞. On définit l’ensemble L p (Ω) ={u: Ω→C, Z |u(x)| p dx <+∞}. Ω avec aussi la convention qu’on “ne distingue pas” deux fonctions qui sont égale presque partout. Par exemple, la fonctionudéfinie surIRest égale partout à zero sauf dans un point oùqui elle vaut 1, est considérée comme l’élément zero deL p (IR)(on confond cette fonction avec la fonction 0). La raison de cette convention supplémentaire est le fait que nous voulons queL p (Ω)soit unespace de Banachmuni de la normekuk L p (Ω) = R Ω |u(x)| p dx  1/p . Alors il doit satisfaire une propriété essentielles :kuk L p (Ω) = 0 =⇒u= 0; siuest tel quekuk L p (Ω) = 0alors en utilisantL7)on déduitu= 0mais pas nécessairement partout surΩmais seulement p.p. x∈Ω; c’est pourquoi on doit confondre toute fonction égale presque partout à zero avec la fonction zero. En fait la définition complete deL p (Ω)est plus compliquée et elle fait appel à la notion declasses d’équivalence. Cas 2)p= +∞. On définit L ∞ (Ω) ={u: Ω→C,∃a≥0,|u(x)| ≤a, p.p. x∈Ω}. avec la même convention : on confond les fonctions égale presque partout. Il est facile de voir que toute fonction bornée est un élément deL ∞ (Ω). Un exemple de fonction non bornée qui est dansL ∞ (Ω)est la fonction définie surIRet qui vaut 0 partout, sauf dans les pointsn∈IN ∗ où elle vautn. La propriété de la définition est vraie pour tout a≥0; en fait onconfondcette fonction avec la fonction nulle. L’ensembleL ∞ (Ω)est aussi unespace de Banachmuni de la norme kuk L ∞ (Ω) = inf{a≥0,|u(x)| ≤a, p.p. x∈Ω}. Cette dernière quantité s’appellele suppremum essentielde|u|et le plus souvent il n’est autre quesup x∈Ω |u(x)|.

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Chapitre 2

La théorie des distributions.

2.1 Introduction Une distribution est une sorte de “fonction généralisée” et elle est introduite pour mo- déliser des phénomènes où les fonctions habituelles ne sont pas très pratiques à utiliser. Commençons par l’exemple suivant : supposons qu’on a un signal physique d’une très grande intensité sur une region très petite dans l’espace (par exemple une charge élec- trique très concentrée dans un petit voisinage d’un point, et nulle ailleurs ; c’est ce que les physiciens appellent unecharge ponctuelle). Supposons que la quantité totale de charge est connue, égale par exemple à 1. Nous pouvons considérer une densité de charge (pour simplifier on suppose que la charge est en dimension 1 et qu’elle est concentrée autour du point 0) qui sera une fonctionρ:IR→IRtelle que ρ(x) =  ”gra 0 nde”si x∈”petit”edotru uesriall inteleaurval0 mais de tel sorte que R IR ρ(x)dx= 1. On peut donner comme exemple d’une telle densité la fonction − ρ(x) =  n 0 si x∈ si  non 1 , 1 2n  (2.1) 2n avecnun nombre très grand, qui peut être en général assez mal connu (difficile de savoir dans un cas donné si on an= 1000oun= 1200, etc..). On aimerait avoir une limite, pourn→+∞d’une telle fonction. Le physicien P. Dirac a introduit et utilisé une fonctionδ:IR→IRqui est vue comme un sorte de “limite” pourn→+∞de la fonction définie en (2.1). La fonctionδ(appellée aussi lafonction de Dirac) est telle que 1.δ(0) = +∞

2.δ(x) = 0,∀x6= 0

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3. R IR δ(x)dx= 1. L’existence d’une telle fonction contredit la théorie de la l’intégration au sense de Lebesque, car de la propriété 2. on déduitδ= 0p.p. x∈IRdonc R IR δ(x)dx= 0ce qui est en contradiction avec 3. On introduira une limite de la fonctionρ(2.1) qui sortira du cadre des fonctions ;définie en ça sera unedistribution. Un exemple dans l’électrostatique. Supposons qu’on a une charge électrique qui occupe un volumeΩ⊂IR 3 et qui est donnée par une densité de chargeρ: Ω→IR. Dans la réalité une telle fonction est assez mal connue (on ne peut disposer que des ap- proximations) car aucun appareil de mesure ne peut nous donner la valeur deρdans un pointxdeΩ. Ceci parce que tout appareil ne peut mesurer que l’effet produit sur lui par les charges situés dans un voisinage de ce point. En plus il y a une infinité des pointsx∈Ω. En fait l’experimentateur accède indirectement à la densité de chargeρ(x)par ses pro- priétés, c’est à dire, en mesurant non pasρ(x)mais des quantités physiques importantes, faisant intervenirρ, comme par exemple : 1. La charge totale Q= Z Ω ρ(x)dx

2. La charge dans un sous-domaineωdeΩ Q ω = Z ρ(x)dx ω

(donc on peut noterQ=Q Ω ) 3. Le potentiel dans un pointa∈IR 3 : (x) V a = 4π 1  0 Z Ω |x ρ −a| dx avec 0 une constante physique, où| ∙ |désigne la norme euclidienne d’un vecteur. Ce sont en fait des quantités du type Z Ω (x)ϕ(x)dx(2.2) ρ avecϕ: Ω→IRdonnées par exemple par ϕ≡1pourQ ϕ= 1 ω pourQ ω ϕ= 4π 1  0 |x 1 −a| pourV a .

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On pourrait considérer de manière théorique toutes les intégrales du type (2.2) pour "toute" fonctionϕ.. Il est alors naturel d’introduire une application T ρ :"un ensemble des fonctions test"→C T ρ (ϕ) = Z Ω ρ(x)ϕ(x)dx,∀ϕ Théoriquement, si on connait toutes les intégrales du type (2.2) pour tousϕalors on “aurait suffisament d’information” por caractériserρ, doncT ρ est une autre manière de se donner ρ; ceci à condition d’avoir : ρ 1 6=ρ 2 =⇒T ρ 1 6=T ρ 2 (on va détailler ceci ultérieurement). Dans la suite on introduira de manière rigoureuse des applications plus générales queT ρ .

2.2 L’espaceD(Ω)des fonctions test Partout dans ce cours,Ωdésigne un ouvert dansIR n . Définition 2.1.Soitϕ: Ω→C(Cdésigne l’ensemble des nombres complexes) une fonction continue. On appèllesupportdeϕ(notationsupp(ϕ)) l’adhérence enIR n de l’ensemble{x∈Ω, ϕ(x)6= 0}(l’ensemble de non-annulation deϕ). Le support est toujoursfermé. On pourrait travailler aussi enIR, mais on prefèreC (plus général). Notation :On note parC 0 ∞ (Ω)ou encoreD(Ω)l’ensemble des fonctionsϕ: Ω→C (IRsi travail enIR)indéfiniment diérivablesetà support compact et inclus enΩ. Notation :Pour toutα∈IN n , α= (α 1 , α 2 ,∙ ∙ ∙α n ), α j ∈IN,∀j= 1,∙ ∙ ∙non utilisera la notation D α ϕ=ϕsiα= (0,∙ ∙ ∙0) ∂ |α| ϕ D α ϕ= ∂x 1 α 1 ∂x 2 α 2 ∙ ∙ ∙∂x α n n s )(2.3 inon où on a noté|α|=α 1 +∙ ∙ ∙α n . Quelques exemples fondamentaux :(voir cours pour d’autres exemples) Exemple 1. La fonction constante 0 est toujours un élément deD(Ω), car son support est l’ensemble vide qui est considéré comme un compact inclus dans tout ensemble. Exemple 2. On considèren= 1etΩ =IR. On introduit la fonctionθ 1 :IR→Cdéfinie par θ 1 (x) =  exp  x 2 1 −1  si|x|<1 (2.4) 0si|x| ≥1 Il est evident que l’ensemble de non-annulation deθ 1 est l’intervalle]−1,1[, donc on a supp(θ 1 ) = [−1,1]est donc un compact inclus dans; le support IR. On montre aussi que 11