cours nombres complexes(2)

Mondher Smaali

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Alphamaths. 4°MATH. COURS. III- ECRITURE EXPONENTIELLE. 1°- Notation … 1. 2°- Définition … 3°- Propriétés … 4°- c o nséq uen c es … NOMBRES COMPLEXES. IV-NOMBRES COMPLEXES ET TRANSFORMATIONS. 1°- Tra nsl ation … 2°- H o mothé tie … 3°- Ro tation … 1 SMAALI.MONDHER http://alphamaths.12.org 4°M.

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• Publié par: alphamaths
• Publié le: 14 février 2012
• Nombre de lectures: 186
• Langue: Français

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Alphamaths. 4°MATH. COURS. III- ECRITURE EXPONENTIELLE. 1. 2°- Définition… 1°- Notation… 3°- Propriétés… 4°-conséquences… NOMBRES IV-NOMBRES COMPLEXES ET TRANSFORMATIONS. COMPLEXES. 1°-Translation… 2°-Homothétie…

3°-Rotation…

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III- FORME EXPONENTIELLE. 1°- Notation :▲    Pour tout réel , on note  le nombre complexe cos+ i sin  = Cos +i sin      :désigne donc le nombre complexe de module 1 et d'argument   |  | = 1 et Arg (  ) [2π]. ≡    − 0 2 Exemples :  = 1 ;  = i;  = -1 ;  = 1 ;  = -i. 2 2 2°- Définition :▲  Un nombre complexe Z non nul de moduler>0et d'arguments'écrit alors   sous la formeZ=r. Cette écriture est appeléeune forme exponentielledeZ. 3°- Propriétés :▲  Pour tout réelet tout entier k ; on a  (+2) (+  2+1  ) = =−  −  () = Pour tout réel; on a ′∈ ℤ Pour tout réels; on aet tout n ′ ′  (+) .  = 1 − =     ′ (−) =   ′     n =( cos +(n ) + i sin(n ) → ) =i sincos   C’est laformule de MOIVRE. ▲ 4°- Conséquences : −− + − Cos =et sin = → ce sont lesformules d’EULER.   2 2

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IV -LES COMPLEXES ET LES TRANSFORMATIONS : 1°- Translation : ▲  Soit une translation de vecteurd'affixea; le point M (d'affixe z) est transformé en un point M' (d'affixe z’) tel que : ′  =- z =donc z'ad'où : L’expression complexe d'une translation est :z' = z +a; oùaest l'affixe du vecteur de translation. 2°- Homothétie : ▲ ∈ Soit une homothétie de rapport k (IR*)et de centreΩd'affixe w ; Le point M (d'affixez) est transformé en un point M' (d'affixe z’) tel que : Ω′ Ω =k.Donc z' - w = k. (z - w) D’oùl'expression complexe d'une homothétie est : z' -w= k. (z -w); Où w est l'affixe du centre etkle rapport de cette homothétie. f:P→P M(z)→M'(z') /z' =k. z+k un réel non nul.b où Si k=1 : on a identité.  ≠ Si k1 : on a homothétie de rapport k et de centreΩ( ) 1− 3°Rotation : ▲  Soit une rotation d'angleet de centreΩd'affixe w; le point M (d'affixe z) Ω Ω’ est transformé en un point M' (affixe z') tel que : l'angle (,)=   Donc z' - w =(z - w)   D’oùl'expression complexe d'une rotation est : z' -w-= (zw); Où w est l'affixe du centre et q l'angle de cette rotation.  L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe    z' =z. Oùest un nombre réel fixé, est la rotation de centre O  et d’angle.

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f:P→P M(z)→M'(z') /z' =a. z+b  Oùa est un nombre complexe de module 1. Si a=1 : on a identité.  Si a1 : on a rotation d’angle Arg(a) et de centreΩ( ) ≠ 1−  Le cercle de centre A d'affixe zA et de rayon r est l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant : |z–zA| = r

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