Démontrer Pythagore

Description

Démonstrations multiples sur le théorème de Pythagore.

Sujets

• Mathématiques
• Géométrie
• Pythagore
• Théorème de Pythagore
• maths

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• Publié par: isybokom
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Extrait

1

Démontrer ?

À propos du théorème de Pythagore, selon le programme une démonstration n’est pas

obligatoire. Cependant sur cet exemple on peut proposer des démonstrations très différentes.

Cela me semble donc intéressant de leur faire voir que, pour un même théorème, il existe

différentes démonstrations. Est-ce superflu ? Utile ? Hors programme ? (VCL

,

octobre 2002)

Matériaux pour une réponse

1. Faut-il démontrer le théorème de Pythagore, ou bien l’admettre ? Soulignons d’abord que,

selon le programme, « pour tout résultat mathématique énoncé, on précisera explicitement

qu’il est admis lorsqu’il n’a pas été démontré ». Quelques-uns des théorèmes figurant dans les

programmes du collège sont signalés explicitement comme devant être admis : ainsi en va-t-il,

en 5

e

, de l’inégalité triangulaire ; en 4

e

, du fait que « moins par moins donne plus ». Il semble

que l’on tombe ici dans le cas intermédiaire que décrit ce passage du document

d’accompagnement des programmes du cycle central :

« Pour tout le cycle central, il est de la responsabilité du professeur, en fonction de ses élèves,

de décider de l’opportunité de démontrer certains résultats du cours (leur statut, admis sur

conjecture ou établi, doit cependant être clair) et d’organiser des étapes de recherche et de

rédaction. »

2. Il est ainsi possible d’

admettre

le théorème de Pythagore, ainsi d’ailleurs que sa réciproque.

On reproduit ci-après un extrait d’un rapport récent de Tony Gardiner, président de la

commission sur l’enseignement des mathématiques de la SME (Société mathématique

européenne), qui esquisse un inventaire de la situation dans divers pays d’Europe à propos du

théorème de Pythagore, de sa réciproque, et de leur démonstration :

In many countries (e.g. Poland, Germany, Greece, Spain, Russia, Italy, Finland, Sweden) all

pupils would meet the Pythagorean theorem by the age of 16. In Italy, some motivation is

presented when the result is first met, but the topic is treated more thoroughly later in

secondary school. In Germany, a full proof would be expected – and the converse would be

stated – for those in a Gymnasium; those in a Hauptschule would meet the result without

proof. In Finland and Sweden no proofs would normally be given. In Spain, some visual

image may be used to make the result plausible, but a proof is unlikely to be given. In Russia,

the proof is compulsory and the converse would also be treated. In Belgium the result would

be presented with proof to almost all pupils in the academic-oriented lower secondary school,

and without proof to some in the technical/vocational school; thus roughly 50% of pupils

meet the result by the age of 16. In England, around 40% of pupils are expected to have met

the result by age 16, but there is no official mention of the need for a proof, and none is

usually given.

3. Multiplier « à vide » les démonstrations du théorème de Pythagore n’est cependant guère

recommandable, et cela pour plusieurs raisons.

•

Une première raison, la plus générale sans doute, est qu’une telle démarche entraînerait une

dépense de temps

qui, cumulée avec quelques autres de la même veine, viendra

immanquablement grever le budget temps de la classe : manière de perdre du temps d’horloge

sans avancer sensiblement dans le temps didactique !