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CHAPITRE V DETERMINATION DE LA PARTIE RADIALER(r)DE LA FONCTION DONDE
Christian Ducauze et Hervé This
1 - LELECTRON DANS UN CHAMP A SYMETRIE SPHERIQUE Lénergie potentielle dun électron dans un champ à symétrie sphérique sexprime sous la
forme :V (x,y,z) = V(r).
De ce fait, lhamiltonien est:
1 H= −2∆ + )V ( r,
avec un laplacien∆ = ∂r2+2r12 r r
2 .
Léquation de Schrödinger dun tel système sécrit alors :12
avecl,m=R( r ) sinmθdclo+smθ(1cos2θ)leim
l,m+ ).V ( rψl,m=E .ψl,m
Les fonctionsf ( r )ainsi quercommutent avecPet les opérateurs de moments cinétiques,
en particulier les opérateurs de quantité de mouvement et de spin. Le laplaciencommute avecP, avec les opérateurs de moment dimpulsion et de moment de spin, mais pas avecf ( r )etr
DoncHcommute avec les opérateurs de parité, de moment cinétique et de moment de spin.
En conséquence, il existe un ensemble de fonctions propres communes       àH ,P,M2,Mz,S2etSzsur lesquelles on peut construire un ensemble orthonormé de vecteurs
de base pour lespace de Hilbert. La base complète est constituée de vecteurs
V=E ,l,m,m,ms étant le nombre quantique de spin, ce qui équivaut, dans la
représentation de Schrödinger, à un ensemble de fonctions de la forme
l,mαetψl,mβ.
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