DETERMINATION DE LA PARTIE RADIALE R r DE LA FONCTION D'ONDE

Hervé This

Description

1 CHAPITRE V DETERMINATION DE LA PARTIE RADIALE R(r) DE LA FONCTION D'ONDE Christian Ducauze et Hervé This 1 - L'ELECTRON DANS UN CHAMP A SYMETRIE SPHERIQUE L'énergie potentielle d'un électron dans un champ à symétrie sphérique s'exprime sous la forme : V (x,y,z) = V(r). De ce fait, l'hamiltonien est: 1 2 H V( r )= ? ∆+ , avec un laplacien 2 22 2 1 r r Mr r ∆ = ∂ + ∂ ? . L'équation de Schrödinger d'un tel système s'écrit alors : 1 2 ,m ,m ,m V( r ). E .? ? ?? ∆ + =l l l avec 21m m im,m cosR( r )sin d ( cos ) e ? ?? ? ?+= ?l ll Les fonctions ainsi que rf ( r ) ∂ commutent avec P et les opérateurs de moments cinétiques, en particulier les opérateurs de quantité de mouvement et de spin. Le laplacien∆ commute avec P , avec les opérateurs de moment d'impulsion et de moment de spin, mais pas avec et rf ( r ) ∂ Donc H commute avec les opérateurs de parité, de moment cinétique et de moment de spin. En conséquence, il existe un ensemble de fonctions propres communes à 2 2 etz z H ,P,M ,M ,S S sur lesquelles on peut construire un ensemble orthonormé de vecteurs de base pour l'espace de Hilbert

• énergie d'interaction spin


• orbite


• electron


• mouvement de l'électron unique de l'atome d'hydrogène


• opérateurs de moments cinétiques


• opérateurs de moment d'impulsion et de moment de spin


• ?? ??

Sujets

• Orbite
• Electrón

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Extrait



CHAPITRE V    DETERMINATION DE LA PARTIE RADIALER(r) DE LA FONCTION DONDE

Christian Ducauze et Hervé This

     1 - LELECTRON DANS UN CHAMP A SYMETRIE SPHERIQUE  Lénergie potentielle dun électron dans un champ à symétrie sphérique sexprime sous la

forme :V (x,y,z) = V(r).

De ce fait, lhamiltonien est:

 1 H= − 2 ∆ + )V ( r,

avec un laplacien∆ = ∂ r 2 + 2 ∂ r − 1 2 r r

 2 .

Léquation de Schrödinger dun tel système sécrit alors :− 1 2 ∆

avec l,m =R( r ) sin m θd c l o + s m θ (1−cos 2 θ) l e im 

l,m + ).V ( rψ l,m =E .ψ l,m 

 Les fonctionsf ( r )ainsi que∂ r commutent avecPet les opérateurs de moments cinétiques,

en particulier les opérateurs de quantité de mouvement et de spin.  Le laplacien∆commute avecP, avec les opérateurs de moment dimpulsion et de moment de spin, mais pas avecf ( r )et∂ r 

 DoncHcommute avec les opérateurs de parité, de moment cinétique et de moment de spin.

En conséquence, il existe un ensemble de fonctions propres communes        àH ,P,M 2 ,M z ,S 2 etS z sur lesquelles on peut construire un ensemble orthonormé de vecteurs

de base pour lespace de Hilbert. La base complète est constituée de vecteurs

V=E ,l,m,m ,m s  étant le nombre quantique de spin, ce qui équivaut, dans la

représentation de Schrödinger, à un ensemble de fonctions de la forme



l,m αetψ l,m β.

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