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IX – Annexes 
DU FINI À LINFINI---------------------------------------------------------- --- 2 DE LINFINI AU FINI--------------------------------------------------------- --- 5 AUTANT,MOINS OU PLUS? ------------------------------------------------- -- 7 DÉNOMBRABLE OU CONTINU? --------------------------------------------- - 14 ASPECT HISTORIQUE DE QUELQUES NOTIONS D'ANALYSE---------------- 1 9 PETITE BIBLIOGRAPHIE SUR LHISTOIRE DE L’ANALYSE---------------- 3 4
DU FINI À L INFINI 
Le parti pris pour définir la notion de « fini » est le point de vue naïf de lenfant qui dénombre une collection dobjets. Définitions 1. Deux ensembles sont dits équipotents lorsquil existe au moins une bijection de lun sur lautre. 2. Un ensembleE est lorsquil dit fini est vide ou lorsquil existe un entier natureln que telE soit équipotent à lensemble {1;2; ... ;n}. 3. Un ensemble est dit infini lorsquil nest pas fini. 4. Un ensemble est dit dénombrable lorsquil est équipotent à`. Notation Nous noterons [[1;n]] lensemble {1;2; ... ;n}. Remarques 1. SoitEetFdeux ensembles équipotents etfune bijection deEsurF. Alorsf1est une bijection deFsurE. 2. Le point de vue adopté pour définir un ensemble fini est le point de vue intuitif utilisé pour dénombrer les doigts de la main gauche. 3. Les questions qui se posent à la suite de ces définitions sont les suivantes :  lensembleEétant un ensemble fini et non vide, lentierntel queE 1 ; [[soit équipotent àn]] est-il unique? (ou, en langage naïf, va-t-on obtenir le même résultat en comptant les éléments deEde diverses façons ?).  un ensemble dénombrable est-il infini ?  un ensemble équipotent à un ensemble infini est-il lui même infini ? La réponse intuitive à chacune de ces trois questions est oui. Les propriétés qui suivent, et qui découlent des définitions adoptées, en apportent la preuve mathématique. Propriété 1 Soit deux entiers naturels non nulsnetp. Si [[1;n]] est équipotent à [[1;p]] alorsn=p. Il suffit, en fait, détablir que, si [[1;n]] est équipotent à [[1;p]], alorsnp. (1) En effet si [[1;n]] est équipotent à [[1;p]] alors [[1;p]] est équipotent à [[1;n]]. La proposition (1) permet donc décrire à la foisnpetpn, cest à dire quen=p. Pour démontrer cette proposition (1) nous allons utiliser un raisonnement par récurrence sur lentiern. y La proposition est évidente pourn=1puisquep1. y Supposons cette proposition vraie au rangn et considérons un entier naturel non nulq tel que [[1; (n+1) ]] soit équipotent à [[1;q]]. On considère une bijectionfde [[1; (n+1) ]] sur [[1;q]] et on désigne parmlimage de (n+1) parf. Deux cas sont alors à envisager : 1ercas :m=q. La restrictionf* def à lensemble [[1;n]] est une bijection de [[1;n]] sur [[1; (q1) ]] et, daprès lhypothèse de récurrence,nq1.
IX  Annexes Du fini à linfini
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Par conséquent,n+1q. 2èmecas :mq On désigne parAlneesbmle[[1; (q\{)]]m} (ensemble [[1; (q privé de lentier) ]]m) et on considère lapplicationgdéfinie surApar : Sim1,g((xx))==xxp1toouopturrutoxuttexueuqlqtle1exmmxqSim=1,g(x)=x1pour toutxdeA g est une bijection deA sur [1; (q1) ] et la restrictionf def à lensemble [[1;n]] est une bijection de [[1;n]] surA. Il en résulte quegDfstu*e[[ontiedbneecij1;n]] sur [1; (q1) ] et, daprès lhypothèse de récurrence,nq1.Par conséquent,n+1qcomme dans le premier cas. Nous avons donc établi la proposition (1) au rang (n+1). Celle-ci est donc vraie pour tout entiern. Propriété 2 SoitEun ensemble fini non vide. Il existe un entier naturelnunique tel queEotiptenitsoqué[à[1;n]]. Définition Cet entier naturelnest appelé cardinal de lensembleEet notéCard(E). Par convention le cardinal de lensemble vide est0. LensembleEfini et non vide donc il existe un entier naturelest net une bijectionfdeEsur [[1;n]]. Soit un entier naturelpetgune bijection deEsur [[1;p]]. LapplicationgDfest une bijection de [[1;n]] sur [[1;p]] et, daprès la proposition précédente,n=p. Propriété 3 Les parties finies non vides de`sont les parties majorées de`. SoitEune partie finie et non vide de`. Il existe un entier naturelnet une bijectionfdeEsur [[1;n]]. Nous allons montrer par récurrence sur lentiernqueEest majoré. Sin=1, alorsE={f1(1) } oùf1désigne la bijection réciproque def. Tout entier supérieur àf1(1), par exemplef1(1)+1, est un majorant deE. Supposons la propriété vraie au rangn. SoitEune partie de`de cardinal (n+1). Lensemble {f1(1),f1(2),  ,f1(n) } est une partie de` cardinal den et possède donc, daprès lhypothèse de récurrence, un majorantM. OrE={f1(1),f1(2),  ,f1(n),f1(n+1) }. Ainsi le plus grand des deux nombresΜetf1(n+1) est un majorant deE. La propriété est donc établie au rang (n+1) et nous avons démontré que toute partie finie de`est majorée. Réciproquement, soitEune partie majorée et non vide de`. Daprès les axiomes qui permettent de définir lensemble des nombres entiers naturels,E admet un plus grand élémentp. Nous allons montrer par récurrence sur lentierpqueEest fini. Sip=0,E a pour seul élément0 lapplication qui à et0 associe1 une bijection de estE [ sur1 ; 1] ce qui prouve queEest fini. Supposons la propriété vraie au rangp. SoitEune partie de`dont le plus grand élément est (p+1). On considère lensembleF=E\ {p+1}. Le plus grand élément deFest inférieur ou égal àpet, daprès lhypothèse de récurrence,Fest fini. Donc il existe un entier naturelmet une bijectionfdeFsur [[1;m]].
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Du fini à linfini
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