ENS CACHAN LICENCE de MATHEMATIQUES 2009-2010 Cours Intégration ...

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ENS CACHAN LICENCE de MATHEMATIQUES 2009-2010 Cours Intégration ...

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• Publié par: yhafutup
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ENS CACHAN 2009-2010

LICENCE de MATHEMATIQUES

CoursInte´gration-Probabilit´es Limitessup,limiteinf,Riemannint´egrabilite´ Feuille 1 Cepremiertdde´marreavecdespetitsexcercicesquin’ontd’autresbutsquevousmettrea` l’aise avec les notions de limites sup et limites inf qui ne sont pas officiellement aux programmes despre´pasetserontutilis´eesassezsyste´matiquementdanslecoursd’inte´gration-proba.Ilssont extraitsd’unelisted’exercicespropose´sparCharlesSuquet,etdisponiblesenligneicia`uo l’adresse : http ://math.univ-lille1.fr/~suquet/ens/IFP/indexIFP.html Ontermineparlapreuveduthe´or`emedecaract´erisationdesfonctionsRiemannint´egrablessur un intervalle compact Exercice 1Soit (u n,k ) (n,k)∈N i’lrertnoM.sfiti´eitalegn´tideenususpos´eelederoubl ∞ ∞ X X + supu n,k ≤supu n,k dansR, n∈Nn∈N k=0k=1 etdonnerunexempleo`uelleeststricte. Exercice 2 1. Onrapelle que pour toute suite (u n ) n≥0 le,sree´silmupdu k existe dansRteatseleppee´ n→+∞ k≥n limitesup´erieurede(u n )n,toe´lemiu n ou souvent plus simplement limu n eˆmme.eD n→∞ lim infu k existe dansRde(eerf´uriemiliinteeppaee´letsetu n on´teeilm,)u n . n→+∞ k≥n n→∞ Montrer que pour toute suite (u n ) n≥0 , limu n ≤limu n ta´lyaleget’iquluesnemee´titeis si la suiteu n converge dansR. 2. Soitl∈R´eesrlrentMo.secnelaviuq

limu n =l⇔lim|u n −l|= 0 limu n = +∞ ⇔limu n = +∞; 3. Soit(u n ) n≥0 opesenuitsueredel´eOns.a= limu n etb= limu n . Montrer qu’il existe une sous-suite de (u n ) n≥0 qui converge versaet une sous-suite qui converge versb. Exercice 3Soient (a n ) n≥0 et (b n ) n≥0 neme´le´’dsetiusuxdetsdeR. 1. Montrerque lim(−a n ) =−lima n . 2. Montrerque lim(a n +b n )≤lima n + limb n recnocsesee´nqu’aucunedessomm`,canoiditno ne soit de la forme “∞−∞tranemonl’intquennre.”oDmelpnuxetˆetepeulit´´ega.eirtcerts 3. Lorsquea n ≤b n pour toutn, montrer que lima n ≤limb n Donnerun.u`elsxemelpoe limitesinfe´rieuressonte´gales,bienquea n < b n pour tout n. Exercice4(Convergencedomine´epourless´eries)Onocsndie`ernuseiutedoublede 2 r´eels(u n,k ; (n, k)∈Ne)netuitsueredels´(ea k ;k∈Ns.antesuivsese`htopyhseltnfiari´e)v 2 a)∀(n, k)∈N,|u n,k | ≤a k . b) Pour toutk∈N, lim n→∞ u n,k =u k ∈R. P ∞ c)a k <+∞. k=0

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