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Estimateurs au maximum de vraisemblance

4 pages
Chapitre 9 Estimateurs au maximum de vraisemblance Avec ce chapitre nous commenc¸ons l'etude de quelques outils centraux de la statistique. 9.1 Estimateur Definition : Soit n > 0 un entier. Nous appellerons n-echantillon d'une loi L toute suite X1, . . ., Xn de v.a. independantes de loi L. La statistique-pratique est un ensemble de techniques de traitement de donnees qui, face a la donnee de n nombres (ou plus generalement vecteurs) x1, . . ., xn produits par “echantillonage” - c'est-a-dire selon un protocole experimental propre au domaine considere (sociologie, controle de qualite, etc.) - choisit un n-echantillon au sens de la definition ci-dessus pour modele mathematique suggerant un traitement de ces donnees. Prenons l'exemple d'un referendum (ou d'un plebicite) ou les electeurs ne peuvent que repondre par “oui” ou “non” (les abstentions etant sans influence sur le resultat, ce qui exclut les cas ou il y a un quorum a atteindre). Choisissons n = 1000, et posons xi = 1 si la i-eme personne interrogee declare savoir ce qu'elle ira voter et vouloir voter “oui” (si elle declare ne pas savoir ou ne pas envisager de voter, on ecarte cette reponse de la presente analyse) et xi = 0 si elle declare vouloir voter “non”.

  • exemples distribution uniforme

  • methode du maximum de vraisemblance

  • ?3 ∑n

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Chapitre 9
Estimateursaumaximumde vraisemblance
Aveccechapitrenouscommen¸consl´etudedequelquesoutilscentrauxdelastatistique.
9.1 Estimateur
De´nition:Soitn >0 un entier. Nous appelleronsnoliuenilntndlo-´haecLtoute suiteX1, .. .,Xn dev.a.inde´pendantesdeloiL. Lastatistique-pratiqueestunensembledetechniquesdetraitementdedonn´eesqui,facea`ladonne´e denserbmongsulpuo()setrueral´en´tvecemenx1, . . .,xn-geescilntnalo´raahceudorpstipseleno-ta`d-ri unprotocoleexp´erimentalpropreaudomaineconside´r´e(sociologie,contrˆoledequalit´e,etc.)-choisitun nadelsdenioitn´essed-icnomruopsuahtn´-ceansuliolteaintmeded`elemath´ematiqeuusgge´artnnurt cesdonne´es. Prenonslexempledunre´fe´rendum(oudunple´bicite)ou`lese´lecteursnepeuventquer´epondrepar ouiounon(lesabstentions´etantsansinuencesurlere´sultat,cequiexclutlescasou`ilyaun quorum`aatteindre).Choisissonsn= 1000, et posonsxi= 1 si lai´gee´dcealerme`-epersonneinterro savoircequelleiravoteretvouloirvoteroui(siellede´clarenepassavoirounepasenvisagerdevoter, on´ecartecettere´ponsedelapr´esenteanalyse)etxi0sielled=uoolriove´lcrave.rtenno Cettesituationsimpleestg´en´eralementmod´elise´eparun1000-e´chantillonX1, .. .,X1000d’une loi de BernoulliB(1, pstueseitniselem),etonconsid`qereleunipoenoienstvefaduuruiop0.5. Onestalorsconfronte´auproble`medestimerlavaleurdepnoceisidomelle`d.nsDaliil)i(Bernoud´er´eic laloidesgrandsnombresvienta`notresecours:elleassurequelimn+(X1+. . .+Xn)/n=E(X1) =p; on dit dans ce cas quepˆ := (X1+. . .+Xn)/nest unestimateurerte`duparamp; en pratique, on choisit alorsp=p:= (x1+. . .+x1000)/1000. Nousnousint´eresseronsicia`laequrietm´rapauetsqiatits,iolalu`oL=L(θtˆetrecatenuepeuer)-r act´erise´parunparam`etreθ, qui est un nombre ou un vecteur. Ainsi, par exemple, siXiB(1, p), alors θ=pest un nombre, mais siXiN(µ, σ), alorsθ= (µ, σ) est un vecteur, tout comme dans le cas d’un d´epipe´o`ulonpeutchoisirθ= (p1, . . . , p5) (etp6= 1(p1+. . .+p5)) etpk:=Pθ({Xi=k}). ˆ ˆˆ D´enition:On dit queθ: (x1, . . . , xn)7→θn:=θ(x1, . . . , xn) est unestimateurconvergeant versθsi ˆ et seulement si , en loi, on aθ= limn+θ(X1, . . . , Xn) pour toute suite de v.a.Xid´inpeneadtnsed,e loiL(θ).
9.2 Vraisemblance 9.2.1Heuristiqueetde´nition Nousavonsvuquelaloidesgrandsnombresfournitspontane´mentunestimateurdelespe´rance duneloi,maissilonrechercheunem´ethodeunpeuge´ne´ralepourdevinerunestimateur,laudohed´mte maximum de vraissemblance.Eceoinvleciinprepic:caentveouesgi´etartsenutse ∗ ∗ Siune´chantillonageaproduitlasuiteniex. .,, .xdeserembnocanouqtedtisiohelismod´er 1n cette situation par unnnolahc´e-litnX1. .,, .Xnedolineadtnseina.epd´v.deL(θ), et si le choix de la 43
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