Exercices sur les matrices - Exercices d'algèbre

F. Geoffriau

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Exercices sur les matrices - Exercices d'algèbre

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Agr´egationinternedeMath´ematiques D´epartementdeMathe´matiques Universit´edeLaRochelle F. Geo!riau

Exercices sur les matrices

1. L’inverse d’une matrice comme somme de ses puissances 2. Centre de M n (k) 3.Matricesquicommutent`aunematricedonne´e 4. Matrice nilpotente et matrice inversible 5. Matrice d’un endomorphisme deR n [X] 6. Calcul d’inverse de matrice 7.Calculdede´terminant 8.D´eterminantdematriceparbloc 9.De´terminantdematriceparbloc 10.Syste`meavecunparam`etre 11. Endomorphismes de M n (k) 12.Formeline´airedeM n (kestairemen´el´ciseamrt)te

2006-2007

Agre´gationinternedeMathe´matiques De´partementdeMathe´matiques Universite´deLaRochelle F. Geo!riau

Exercices

sur

les

´ Enonces ´

matrices

2006-2007

Agre´gationInternedeMath´ematiques,Universite´deLaRochelle,Exercicessurlesmatrices

1. – L’inverse d’une matrice comme somme de ses puissances

SoitA!M n (k) a. On suppose qu’il existek!N ! ,! 0 !k ! ,! 1 , . . . ,! k !ktels que

! 0 I n +! 1 A+∙ ∙ ∙+! k A k = 0

Prouver queAnerermid´etleetevnibisrtseA "1 en fonction deAet des! i . b. Montrer qu’il existek!N ! ,! 0 ,! 1 , . . . ,! k !knon tous nuls tels que

! 0 I n +! 1 A+∙ ∙ ∙+! k A k = 0

Montrer que, siAest inversible, on peut en outre obtenir une telle relation avec! 0 "= 0.

Indication Solution

F. Geo!riau

Agre´gationInternedeMathe´matiques,Universit´edeLaRochelle,Exercicessurlesmatrices

2. – Centre de M n (k)

Soitn!N ! . Soiti, j!{1, . . . , n}. On noteE i,j la matrice de M n (k) n’ayant que des 0 sauf en position (i, joeulec)o`"cient vaut 1. a. Soiti, j, k,"!{1, . . . , n} que. Montrer

E i,j E k,! =# j,k E i,!

o`u# j,k est le symbole de Kronecker. b. Montrer que le centre de M n (k) est l’ensemble des matrices scalaires.

Indication Solution

F. Geo!riau

Agre´gationInternedeMath´ematiques,Universite´deLaRochelle,Exercicessurlesmatrices 3. – taMeciriuqscommutent ` aunemartcideno ´ nee a. SoitA!M 2 (k) etCncsotnatummomesne’l(esmabledesqutricumetcimotna`A) dans M 2 (k que dim). MontrerCest 2 ou 4. b. SoitA, B!GL 2 (k) etC=ABA "1 B "1 . On suppose queAetBummoc`antteC. Prouver queAB=BAouAB=#BA. Indication SolutionF. Geo!riau