a
a
*
a
e
˛
a
a
e
h
˛
-
a
a
*
*
"
a
˛
h
$
a
a
*
-
a
a
e
h
h
˛
˛
a
-
-
h
e
a
˛
h
a
a
a
$
h
a
-
a
a
-
h
a
h
a
a
h
˛
-
a
h
h
˛
a
˛
a
$
h
-
e
a
a
h
˛
a
h
$
Fonction continue et positive dont l'intégrale est nulle.
Propriété
Soit I = [a, b] un intervalle de avec a < b. Soit ƒ une application de I dans , continue et positive sur I.
b
Si ƒ(t) dt = 0 alors ƒ = 0 sur I.a
Démonstration :
Par l'absurde. Supposons :
I : ƒ( ) > 0
Comme ƒ est continue en , on a :
, : ( x [ , + ] ƒ(x) [ƒ( ) , ƒ( ) + ])+ +
ƒ( )
En particulier, pour = > 0 :
2
ƒ( ) 3ƒ( )
: ( x [ , + ] ƒ(x) [ , ])+
2 2
C'est-à-dire :
ƒ( ) 3ƒ( )
: ( x + ƒ(x) )+
2 2
ƒ( )
ƒ(x)
ƒ( )
=
2
x + a b
Posons u = max(a ; ) et v = min( + ; b). On a ainsi : u < v. (Car l'ensemble {a ; } est majoré par
et l'ensemble { + ; b} est minoré par et l'un des deux au moins l'est strictement)
Soit x [u, v]. Ainsi :
ƒ( )
ƒ(x)
2
Intégrons cette inégalité entre u et v. Comme u < v, il vient :
vƒ( )
(v u) ƒ(x) dx2 u
Le membre de gauche de cette est inégalité est strictement positif :
Fonction continue et positive dont l'intégrale est nulle. Page 1 G. COSTANTINI"
a
p
a
-
a
p
-
-
˛
-
-
-
ƒ( )
0 < (v u) (car ƒ( ) > 0 par hypothèse et u < v)
2
Étudions le membre de droite :
D'après la relation de Chasles, on a :
b u v b
ƒ(x) dx = ƒ(x) dx + ƒ(x) dx + ƒ(x) dx a a u v
Donc :
b v u b
ƒ(x) dx ƒ(x) dx = ƒ(x) dx + ƒ(x) dx a u a v
Et comme ƒ est positive sur I, elle l'est sur [a, u] et sur [v, b]. D'où
b v
ƒ(x) dx ƒ(x) dx 0 a u
Donc :
v b
ƒ(x) dx ƒ(x) dx u a
Bilan :
On peut finalement écrire :
v bƒ( )
0 < (v u) ƒ(x) dx ƒ(x) dx 2 u a
C'est à dire :
b
0 < ƒ(x) dx a
b
Ce qui contredit l'hypothèse ƒ(t) dt = 0.a
La propriété est donc démontrée.
Remarques : les hypothèses
H1 : ƒ continue sur I
H2 : ƒ positive sur I
sont nécessaires.
En effet :
b1
Si H1 n'est pas vérifiée, en choisissant ƒ nulle sur I sauf en (a + b) on a ƒ(t) dt = 0 et ƒ non identiquement2 a
nulle sur I.
Si H2 n'est pas vérifiée, il suffit de choisir une fonction impaire (et non identiquement nulle) sur un intervalle I
b
centré en 0 (par exemple ƒ = sin sur [ , ]) pour avoir ƒ(t) dt = 0 et ƒ non identiquement nulle sur I.a
Cependant, l'hypothèse H1 peut être affaiblie en la remplaçant par :
On appelle régularisée de ƒ
H1 faible : ƒ est continue par morceaux sur I et est égale ~
l'application notée ƒ définie par :
~
à sa régularisée ƒ sur I.
~ 1 +
t [a, b] : ƒ (t) = (ƒ(t ) + ƒ(t ))
2
Fonction continue et positive dont l'intégrale est nulle. Page 2 G. COSTANTINI˛
"
-
-
"
-
-
-
-
-
˛
-
-
-
-
˛
-
"
-
-
˛
"
On obtient alors une extension de la propriété :
Propriété étendue
Soit I = [a, b] un intervalle de avec a < b. Soit ƒ une application de I dans , continue par morceaux et
~
positive sur I. On suppose de plus que : ƒ = ƒ sur I.
b
Si ƒ(t) dt = 0 alors ƒ = 0 sur I.a
Démonstration :
Soit (t , t , ..., t ) une subdivision adaptée à ƒ. Cela signifie :0 1 m
• a = t < t < ... < t = b0 1 m
+• i {0 ; ... ; m 1}, la restriction de ƒ à ]t , t [ est continue et admet des limites finies en t et t .i i+1 i i +1
Par la relation de Chasles, on a :
m 1b ti+1
0 = ƒ(t) dt = ƒ(t) dt a tii=0
Or, une somme de quantités positives est nulle si et seulement si chacune de ces quantités sont nulles :
ti+1
i {0 ; ... ; m 1} : ƒ(t) dt = 0ti
Et comme ƒ est continue sur ]t , t [, on a, d'après la propriété initiale :i i+1
i {0 ; ... ; m 1} : ƒ = 0 sur ]t , t [i i+1
Donc ƒ est nulle sur [a, b] sauf peut-être en les t . (0 i m 1)i
~
Mais, comme ƒ est égale à sa régularisée ƒ , on a :
1 + i {0 ; ... ; m 1} : ƒ(t ) = (ƒ( t ) + ƒ( t ))i i i
2
+Or, ƒ( t ) = ƒ( t ) = 0 puisque ƒ = 0 sur ]t , t [.i i+1i i
Donc : ƒ(t ) = 0i
Et finalement : ƒ = 0 sur [a, b]
Exercice :
Soit I = [a, b] un intervalle de avec a < b. Soit ƒ une application de I dans , continue telle que :
b b b
2 3 4
ƒ (t) dt = ƒ (t) dt = ƒ (t) dt a a a
Montrer que ƒ = 0 ou ƒ = 1 sur [a, b].
L'idée est de calculer :
b b b b
2 2 4 3 2
(ƒ ƒ) (t) dt = ƒ (t) dt 2 ƒ (t) dt + ƒ (t) dt = 0 a a a a
2 2
De plus, (ƒ ƒ) est continue et positive sur [a, b]. Donc :
2 2(ƒ ƒ) = 0 sur [a, b]
ƒ(ƒ 1) = 0 sur [a, b]
Fonction continue et positive dont l'intégrale est nulle. Page 3 G. COSTANTINI"
-
"
Ì
˛
˛
ƒ(t)(ƒ(t) 1) = 0 t [a, b]
ƒ(t) = 0 ou ƒ(t) = 1 t [a, b]
On a donc : ƒ([a, b]) {0 ; 1}
Or, ƒ étant continue, l'image d'un segment est un segment. Donc :
ƒ([a, b]) = {0} ou ƒ([a, b]) = {1}
Ce qui signifie : ƒ = 0 ou ƒ = 1 sur [a, b]
Fonction continue et positive dont l'intégrale est nulle. Page 4 G. COSTANTINI