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Fonctions de Belyi :
Exemples, propriétés et applications
Alexandre Zvonkine (LaBRI, Bordeaux)
Journées de Géométrie Algorithmique
Luminy, 8 – 12 mars 2010
1
CARTES, HYPERCARTES
ET PERMUTATIONS
2
1.
C’est
quoi
Une carte compacte que. . .
une
CARTE ?
est ungraphe dessinéorientée etsur une variété de dimension 2 (sphère, tore, . . . ) de telle manière
3
1. C’est quoi
Une carte compacte que. . .
une
CARTE ?
est ungraphe dessinéorientée etsur une variété de dimension 2 (sphère, tore, . . . ) de telle manière
les arêtes ne se coupent pas ; le complément du graphe est une homéomorphes à un disque ouvert.
union
disjointe
de
régions
3a
1. C’est quoi une CARTE ?
Une carte compacte que. . .
est ungraphe dessinésur une variété orientée et de dimension 2 (sphère, tore, . . . ) de telle manière
– les arêtes ne se coupent pas ; – le complément du graphe est une homéomorphes à un disque ouvert.
union
disjointe
de
Ces régions s’appellentFACES; ledegréd’une face = le nombre d’arêtes qui l’entourent (les arêtes “intérieures” sont comptées deux fois).
régions
3b
Le même graphe mais deux cartes différentes
Les degrés des faces :
;pour la carte de gauche : 1 et 5 .pour celle de droite : 3 et 3
Un graphe n’a pas de faces mais seulement des sommets et des arêtes.
4
 � 
Ceci n’est pas une carte
5
Le graphe completKdessiné sur la sphère et sur le tore : 4




Degrés des faces : ;sur la sphère : 3, 3, 3, 3 sur le tore : 8, 4 .
=




6
UneHYPERCARTE= Une cartebicoloriée:
Cartes
←→
Convention :
hypercartesdont tous les sommets blancs sont de degré 2:
Quand il s’agit d’une carte, les sommets blancs sont cachés (mais ils existent toujours). 7
Cartes et hypercartes peuvent être codées par des triplets de permutations:
Convention :
3
2
1
9
4
5
8
7
6
Les étiquettes des brins d’arêtes sont placées sur larive gauchequand on va d’un sommet noir vers un sommet blanc.
σ= (1,2,3)(4,5)(6)(7,8,9) α= (1,4)(2,9,3)(5,6,7)(8) ϕ= (1,5,9)(2)(3,8,7,6,4)
Remarque importante :
σαϕ= 1
8
Un pour Un
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