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Fsjes Salé - TD1 économétrie avec corrigé Prof Meslouhi

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Université Mohammed V SouissiAnnée 2012-2013 FSJES Salé->ŝĐĞŶĐĞ Ě͛ ĐŽŶŽŵŝĞ Ğƚ 'ĞƐƚŝŽŶ͘ Sem 6 Econométrie Cours : Pr Meslouhi Khalil Chargé du TD : Soussi Noufail Otmane TD 1 modèle de régression simple Exercice 1 ܻ ൌܽ ܾܺ ݑ Soit un modèle linéaire simple :௧ ௧௧ On donne les informations suivantes : ത ത σ ܻܺ ൌͳͺͶͷͲͲσ ܻ ;ൌʹ͵ͷͲ; ൌσ ܺͳͶͲͲͲͲͲ݊ൌͲൌܻͲͲͶൌܺ ௧ ௧,௧, ௧et, , Travail demandé : 1) Estimer les coefficients du modèle 2) Evaluer la qualité de cet ajustement 3) Tester la significativité globale du modèle Exercice 2 Soient les données suivantes : σ ܻൌͳͳͶ σܺ ൌ͵σ ܺ; ൌʹʹ ଵ ௧,ଵ ௧,ଵ ௧, ܻ ൌܽ ܾܺ ݑ Estimer la relation :௧ ௧௧ Exercice 3 ܻ ൌ ܾܺ ݑ Soit le modèle suivant sans terme constant :௧௧ ௧ ܾ dƌŽƵǀĞƌ ů͛ĞƐƚŝŵĂƚĞƵƌdes MCO. σܻܺൌͲʹ ଵ ௧௧ Exercice 4 ^Žŝƚ ůĞƐ ƌĠƐƵůƚĂƚƐ Ě͛ƵŶĞ ĞƐƚŝŵĂƚŝŽŶ ĠĐŽŶŽŵĠƚƌŝƋƵĞ ͗ ܻ ൌͳǡʹͷͳܺെ ͵ʹǡͻͷ ௧ ௧ ݊ ൌ 20 ܴ;ൌͲǡʹ͵ ߪොൌͳͲǡ ௨ෝ 1. A partir des informations connues, on demande de retrouver les statistiques suivantes : la ܵܥܴ ܵܥܶ somme des carrés des résidus (), la somme des carrés totaux (), la somme des carrés ܵܥܧ ܨ expliqués (), la statistiqueĚĞ &ŝƐŚĞƌ Ğƚ ů͛ĠĐĂƌƚ-type de la pente. 2. La pente est-elle significativement supérieur à 1 ? Exercice 5 ܻ ܺ Le tableau ci-ĂƉƌğƐ ƌĞŶƐĞŝŐŶĞ ƐƵƌ ůĂ ƋƵĂŶƚŝƚĠ ŽĨĨĞƌƚĞ Ě͛ƵŶ ďŝĞŶ ;)) et son prix ( N° ܻ ܺ 1 23 5 2 25 7 3 30 9 4 28 6 5 33 8 6 36 10 7 31 9 8 35 7 9 37 8 Travail à faire : 1. 2. 3. 4. 5.
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Université Mohammed V SouissiAnnée 2012-2013
FSJES Salé->ŝĐĞŶĐĞ Ě͛ĐŽŶŽŵŝĞ Ğƚ 'ĞƐƚŝŽŶ͘
Sem 6 Econométrie

Cours : Pr Meslouhi Khalil
Chargé du TD : Soussi Noufail Otmane
TD 1 modèle de régression simple

Exercice 1
ܻ ൌܽ൅ ܾܺ൅ ݑ
Soit un modèle linéaire simple :௧ ௧௧
On donne les informations suivantes :
ത ത
σ ܻܺ ൌͳͺͶͷͲͲσ ܻ ;ൌʹ͸͵ͷͲ; ൌσ ܺͳͶͲͲͲͲͲ݊͸ൌͲ͹ൌܻͲͲͶൌܺ
௧ ௧,௧, ௧et, ,

Travail demandé :
1) Estimer les coefficients du modèle
2) Evaluer la qualité de cet ajustement
3) Tester la significativité globale du modèle

Exercice 2
Soient les données suivantes :
଺ ଺଺
σ ܻൌͳͳͶ σܺ ൌ͵͸σ ܺ; ൌʹʹ͸
ଵ ௧,ଵ ௧,ଵ ௧,
ܻ ൌܽ൅ ܾܺ൅ ݑ
Estimer la relation :௧ ௧௧

Exercice 3
ܻൌܾܺ൅ݑ
Soit le modèle suivant sans terme constant :௧௧ ௧

ܾ
dƌŽƵǀĞƌ ů͛ĞƐƚŝŵĂƚĞƵƌdes MCO.


σܻܺൌ͹Ͳʹ
ଵ ௧௧

Exercice 4
^Žŝƚ ůĞƐ ƌĠƐƵůƚĂƚƐ Ě͛ƵŶĞ ĞƐƚŝŵĂƚŝŽŶ ĠĐŽŶŽŵĠƚƌŝƋƵĞ ͗

ܻ ൌͳǡʹͷͳܺെ ͵ʹǡͻͷ
௧ ௧
݊ ൌ
20
ܴ;ൌͲǡʹ͵

ߪොൌͳͲǡ͸͸
௨ෝ

1. A partir des informations connues, on demande de retrouver les statistiques suivantes : la
ܵܥܴ ܵܥܶ
somme des carrés des résidus (), la somme des carrés totaux (), la somme des carrés
ܵܥܧ ܨ
expliqués (), la statistiqueĚĞ &ŝƐŚĞƌ Ğƚ ů͛ĠĐĂƌƚ-type de la pente.
2. La pente est-elle significativement supérieur à 1 ?

Exercice 5
ܻ ܺ
Le tableau ci-ĂƉƌğƐ ƌĞŶƐĞŝŐŶĞ ƐƵƌ ůĂ ƋƵĂŶƚŝƚĠ ŽĨĨĞƌƚĞ Ě͛ƵŶ ďŝĞŶ ;)) et son prix (


ܻ

ܺ

1
23
5

2
25
7

3
30
9

4
28
6

5
33
8

6
36
10

7
31
9

8
35
7

9
37
8

Travail à faire :


1.

2.
3.

4.
5.

Tracer le diagramme de dispersion et commenter.
ܻ ܺ
Régresser sur.
Calculer les résidus de cette régression.
Juger de la qualité de cet ajustement.
Tester la significativité individuelle et conjointe des paramètres.

Exercice 6
ܺ ܻݎ ൌͲǡ͸Ͳܺ
Le coefficient de corrélation linéaire entre deux variableset est. Si les écarts-type de
ܻ ͳǡͷͲʹ ͳͲʹͲ
et sontrespectivement et; et leurs moyennes, respectivement,et .Trouvez les
ܻ ܺܺ ܻ
équations de régression deen etde en.

Exercice 7
La base de données suivante met en relation chaque niveau du revenu, avec les dépenses de
consommation des ménages pour soixante ménages.
Revenusdes ménages (REV) et dépenses de consommations (DEP)

Ensemble des données
REV80 100 120 140 160 180 200 220 240


55 6579 80102 110 120 135 137

D107 115 136 137 14584 9360 70
E90 95110 120 140 140 15565 74
P94 103 116 130 144 152 16570 80
75 8598 108 118 135 145 157 175

88113 125 140160 189

115 162

total

260
150
152
175
178
180
185
191
DEP1043 9661211325 462445 707 678 750 685

Source: Gujarati "Basic Econometrics" 1988, p27

1) Constituer un échantillon de données : parmi ces données, pour chaque niveau de revenu
choisissez un niveau de consommation. Pour chaque série calculer la moyenne, la variance et
ů͛ĠĐĂƌƚ-type. Calculer le coefficient de corrélation entre les 2.
2) Représenter graphiquement les dépenses de consommation en fonction du revenu et tracer
ůĂ ĚƌŽŝƚĞ ĚĞ ƌĠŐƌĞƐƐŝŽŶ ĚĞ ů͛ĠĐŚĂŶƚŝůůŽŶ͘
3) DonŶĞƌ ů͛ĠƋƵĂƚŝŽŶ ĚĞ ĐĞƚƚĞ ĚƌŽŝƚĞ Ğƚ ĐĂůĐƵůĞƌ ůĞ ƌĠƐŝĚƵ ƉŽƵƌ ĐŚĂƋƵĞ ŽďƐĞƌǀĂƚŝŽŶ
4) Représenter la droite de régression de la population.

Exercice 1 Correction
Soient :

ܻ ൌܽ൅ ܾܺ൅ ݑ
௧ ௧௧

ത ത
σ ܻܺ ൌͳͺͶͷͲͲൌσ ܻ ;ʹ͸͵ͷͲ; ൌσ ܺͳͶͲͲͲͲͲൌ͹݊ͲܻͲ͸ͲൌൌͶܺ
௧ ௧,௧, ௧, ,et
En fonction des données en présence, les formules suivantes seront utilisées pour répondre aux trois
questions posées :
ത ത
σ ܻܺ െܻ݊ܺͳͺͶͷͲͲ െ ሺ͹ ൈ ͶͲͲ ൈ ͸Ͳሻͳ͸ͷͲͲ
௧ ௧

ܾ ൌൌ ൌൌͲǡͲͷͻ


σܺെ݊ܺͳͶͲͲͲͲͲ െ ͹ ൈ ͶͲͲ;ʹͺͲͲͲͲ
௧ϸ ϸ

ܽොൌݕതെܾݔҧൌ͸ͲെͲǡͲͷͻൈͶͲͲൌ͵͸ǡͶ͵

Calculons :

σ ௑ത
ି௡௑;ͳͶͲͲͲͲͲെ͹ൈͶͲͲ;
೟ϸ

ܴ;ൌܾ;ൈൌͲǡͲͷͻ;ൈൌͲǡͺͶ͹ͷ
௒೟ϸത௒;௡ି
σʹ͸͵ͷͲെ͹ൈ͸Ͳ;

ோ;

௞ିଵ
ܨ ൌൌʹ͹ǡ͵͸ʹ
Etଵିோ;

௡ି௞
Le R² étant relativeŵĞŶƚ ĠůĞǀĠ͕ ĞŶǀŝƌŽŶ ϴϱй͕ ů͛ĂũƵƐƚĞŵĞŶƚ ĞĨĨĞĐƚƵĠ ĞƐƚ ĚĞ ďŽŶŶĞ ƋƵĂůŝƚĠ͘ ƚ ƉƵŝƐƋƵĞ
ܨ ൐ ܨൎ ͸ǡ͸ͳ
leሾଵǡହሿ, on conclut que le modèle est globalement bon.
Exercice 2 Correction
ܻ ൌܽ൅ ܾܺ൅ ݑ
Soient :௧ ௧௧

଺ ଺
σܻൌͳͳͶσܺൌ͵͸
ଵ ௧,ଵ ௧,
de la même manière :


σ ܺ; ൌʹʹ͸
ଵ ௧,


σܻܺൌ͹Ͳʹ
௧ଵ ௧

ത ത
σ ܻܺ െܻ݊ܺ ͹Ͳʹെ ͸ ൈ ͸ ൈ ͳͻͳͺ
௧ ௧

ܾ ൌൌ ൌൌͳǡͺ


σ ܺെ ݊ܺʹʹ͸ െ ͸ ൈ ͸;ͳͲ
௧ϸ ϸ


ܽൌොݕതെܾݔҧൌͳͻെͳǡͺൈ͸ൌͺǡʹ

Exercice 3 Correction
Soit le modèle sans terme constant :

ܻൌܾܺ൅ݑ
௧ ௧௧


ܾ ሺܻǡܺሻ
Trouvons estimateurdes MCO, en minimisant la distance quadratique entre les points:



ܯ݅݊ ܵൌ෍൫ܻ െܧሺܻ ሻ൯ൌ෍ሺܻ െܾܺ ሻ
௧ ௧௧ ௧

ߜܵ
ൌെʹ෍ܺሺܻെܾܺሻൌͲ
௧ ௧௧
ߜܾ

෍ ܻܺ ൌܾ෍ ܺ;
௧ ௧௧

σ ܻܺ
௧ ௧

ܾ ൌ

σ ܺ;

On remarque que :
9
>Ă ĚƌŽŝƚĞ DK ƉĂƐƐĞ ĨŽƌĐĞŵĞŶƚ ƉĂƌ ů͛ŽƌŝŐŝŶĞ ĚĞƐ ĂdžĞƐ͘
9
La droite MCO passe forcement par le barycentre ou le centre de gravité du nuage des
points.
9
La décomposition deůĂ ǀĂƌŝĂŶĐĞ ƚĞůůĞ ƋƵĞ ĚĠĐƌŝƚĞ ĚĂŶƐ ůĞ ĐŽƵƌƐ Ŷ͛ĞƐƚ ƉůƵƐ ǀĂůĂďůĞ͘
9
>Ğ ƚĞƐƚ Ě͛ĂŶĂůLJƐĞ ĚĞ ůĂ ǀĂƌŝĂŶĐĞ Ŷ͛Ă ƉĂƐ ĚĞ ƐĞŶƐ ;&ŝƐĐŚĞƌͿ͘

9
Le R² ne peut plus être lu en termes de proportion de variance expliquée par la régression. Il
peut même prendre des valeurs négatives.

9ܺ ܻ
La pente peut être interprétée autrement : elle représente la rapport entre௧et௧.

ܵݐݑ݀݁݊ݐ
L'estimateur de la variance de l'erreur et lethéorique doivent tenir compte des degrés de liberté,
ǯ-à-dire :

σ ݁; ȁܾȁ

ߪොൌ݁ݐݐ̱ݐఈ
௨೟ෝ෠௕ൌൗ Ǣ௡ିଵ

݊െͳߪ෠


Exercice 4 Correction
1.^Žŝƚ ůĞƐ ƌĠƐƵůƚĂƚƐ Ě͛ƵŶĞ ĞƐƚŝŵĂƚŝŽŶ ĠĐŽŶŽŵĠƚƌŝƋƵĞ ͗

ܻ ൌͳǡʹͷͳܺെ ͵ʹǡͻͷ
௧ ௧
݊ ൌ
20
ܴ;ൌͲǡʹ͵

ߪොൌͳͲǡ͸͸
௨೟ෝ
ܵܥܶൌܵܥܧ൅ܵܥܴ
Nous savons que :
σ ௘;

ܵܥܴ ൌൌߪෝൌͳͲǡ͸͸
Avecݑݐ
௡ି௞
ܵܥܴ
ܴ;ൌͳെ

ܵܥܶ
ܵܥܴ ͳͲǡ͸͸
ܵܥܶ ൌൌ ൌͳ͵ǡͺͶ

ͳ െ ܴ;ͳ െ Ͳǡʹ͵
ܵܥܧൌܵܥܶ൅ܵܥܴൌͳ͵ǡͺͶെͳͲǡ͸͸ൌ͵ǡͺ

2. Calcul du t destudentde la pente :
Connaissant le R², on a :
ܴ;

݇െͳ
ܨ ൌൌͷǡ͵͸

ͳെܴ;

݊െ݇
F = 5,36 F [1 ; 18] = 4,41. On sait de plus que dans unmodèle linéaire simple͕ ůĞ & Ŷ͛ĞƐƚ ƌŝĞŶ Ě͛ĂƵƚƌĞ ƋƵĞ ůĞ ĐĂƌƌĠ
du t deStudentassocié à la pente. Le t deStudentde la pente est donc obtenu en prenant la racine carré de F,
soit :
ݐ ൌʹǡ͵ʹ
௔ො
KŶ ǀĂ ƚĞƐƚĞƌ ů͛ŚLJƉŽƚŚğƐĞ ƐƵŝǀĂŶƚĞ:
ܪ ׷ܽͳ ܪ׷ ൐ܽ൑ ͳ
଴ contreଵce qui peut être exprimé de la façon suivante :
ݎ݆݁݁ݐ ݀݁ ܪݏ݅ ׷ܽܲെ൐݁ܽݒݑ݈




ܽܿܿ݁݌ݐܽݐ݅݋݊ ݀݁ ܪଵܽݒ൏݈ܽܲݑെ݁
ݐ ݐൌʹǡͲͺ
Donc il suffit de comparer௔ dොéjà calculé précédemment et la comparer avec le௧௔௕௨௟±; on
peut conclure que la pente est significativement différent de zéro et par conséquent est
ܲെݒ݈ܽݑ݁ൌͳ
significativement supérieur à la

Exercice 5 Correction
ܻ ܺ
>͛ĠƋƵĂƚŝŽŶ ĚĞ ůĂ ĚƌŽŝƚĞ ĚĞ ƌĠŐƌĞƐƐŝŽŶ ĚĞsur est:

Les écarts types
respectifs :


ܻൌͳͷǡ͵ ൅ʹǡͲ͵͵ܺ
௧ ௧
(6,8661) (0,8791)

40

30

20

10

0

5

7

9

6

8

10

9

7

8

Analyse des résidus :
Observation Prévisionspour YRésidus
1 25,47-2,47
2 29,53-4,53
3 33,60-3,60
4 27,500,50
5 31,571,43
6 35,630,37
7 33,60-2,60
8 29,535,47
9 31,575,43

:ƵŐĞŵĞŶƚ ĚĞ ůĂ ƋƵĂůŝƚĠ Ě͛ĂũƵƐƚĞŵĞŶƚ:

σܺെ݊ܺ;
௧ϸ
ܴ;ൌܽ;ොൈൌͲǡͶ͵͵ʹ


σܻെܻ݊;
௧ϸ

ȁ௔ȁොʹǡͲ͵͵
ݐ ൌൌ ൌʹǡ͵ͳʹ
La statistique t deStudentla pente est : de௔ො. LeStudentau seuil de théorique,
ఙͲǡͺ͹ͻͳ
ೌෝ
ݐ ൌʹǡʹʹͺ
5% et à 10 degrés de liberté est௧௔௕௨௟±.͛Žƶ ůĂ ƉĞŶƚĞ ĞƐƚ ƐƚĂƚŝƐƚŝƋƵĞŵĞŶƚdifférente de
Zéro.

ଵହǡଷ
ݐ ൌൌʹǡʹʹͺ ൎ ݐൌʹǡʹʹͺ
De la même façon on aura pour la constante :±௔௕௨௟௧෠௕͘ ͛Žƶ ůĂ ĐŽŶƐƚĂŶƚĞ
଺ǡ଼଺଺ଵ
est statistiquement nulle.




௞ିଵ
ܨ ൌమൌൌͷǡ͵Ͷͻͷ ܨݐ ;ෝൌͷǡ͵Ͷͻͷ
Le F de ficher est calculer par :ଵିோ, ou directement par :ܽ.

௡ି௞

Exercice 6 Correction
Soient :

ത ത
ݎ ൌͲǡ͸Ͳߪ ൌͳǡͷߪ ൌʹ ܺൌͳͲ Ͳܻൌʹ
௑௒;௑ ;௒; ;

Cherchons les paramètres des équations :

෡ ෠෠ ෠
ܻൌܽܺො൅ܾܺൌܽԢܻො൅ܾԢ
௧ ௧ et௧ ௧
ܺ ܻ
Prenant la relation suivante de la pente de l͛sur :équation de régression de
ߪ ʹ

ܽොൌݎൌͲǡ͸ൈൌͲǡͺ
௑௒
ߪ ͳǡͷ

෠ തത
ܾൌܻെܽܺොൌʹͲെͲǡͺൈͳͲൌͳʹ


ܻ ൌͲǡͺܺ൅ ͳʹ
Donc :௧ ௧

ܴ; ൌݎ; ൌͲǡ͸; ൌͲǡ͵͸
Encore :௑௒

ோ; ଴ǡଷ଺

෠ തത
ܴ;ൌܽԢܽොܽൌොൌൌͷͶǡͲܾെͲǡͲܺʹൌܽെԢොൌԢܻǡͷͲൌͳͷͶͷൈͳ
Et Aussiet
௔ො ଴ǡ଼


ܻ ൌͲǡͶͷܺ൅ ͳͷǡͷ
Donc :௧ ௧


Exercice 7 Correction
Constituons l͛échantillon de données suivant : parmi ces données, pour chaque niveau de revenu
choisissez un niveau de consommation.
observation 12 3 4 5 6 7 8 9 10
DEP 5588 90 80 118120 145 135 145 175
REV 80100 120 140 160 180 200 220 240 260

Calcul des statistiques demandées :
DEP
Moyenne REV
DEP
Variance
REV
DEP
Ecart-type
REV
Corrélation

La droite de régression de l'échantillon

200

150

100

50

DEP en fonction de REV
y = 0,5761x + 17,17
R² = 0,9116

0
0 50100 150 200
Coefficient de la pente : 0,5761
Coefficient de la constante : 17,17
L͛équation de la droite de régression :
observation 12 3 4
DEP 5588 90 80
REV 80100 120 140
DEP estimé63 75 86 98
résidu -813 4-18
Le Coefficient de détermination :R² = 0,9116
La droite de régression de la population :
Tableau des probabilités conditionnelles
REV120 14080 100



0,20 0,17 0,20 0,14
0,20 0,17 0,20 0,14
D0,20 0,17 0,20 0,14
E0,20 0,17 0,20 0,14
P 0,200,17 0,20 0,14
0,170,14
0,14


Total1 1 1 1

N5 6 5 7

E(DEP/REV)65 77 89 101
REV120 14080 100

115,1
170
1201,29
3300
34,659
57,445
0,954

250

5
118
160
109
9

160

0,17
0,17
0,17
0,17
0,17
0,17


1

6

113
160

300

6
120
180
121
-1

180

0,17
0,17
0,17
0,17
0,17
0,17


1

6

125
180

7
145
200
132
13

200

0,20
0,20
0,20
0,20
0,20



1

5

137
200

8
135
220
144
-9

220

0,14
0,14
0,14
0,14
0,14
0,14
0,14

1

7

149
220

9
145
240
155
-10

240

0,17
0,17
0,17
0,17
0,17
0,17


1

6

161
240

10
175
260
167
8

260

0,14
0,14
0,14
0,14
0,14
0,14
0,14

1

7

173
260

200

150

100

50

0
0

50

E(DEP/REV) en fonction de REV

100

y = 0,6x + 17
R² = 1

150

200

250

300