7 jours d'essai offerts
Cet ouvrage et des milliers d'autres sont disponibles en abonnement pour 8,99€/mois
[GJamP] Actes des Rencontres d’Analyse Complexe (Poitiers-Futuroscope, 1999), 81–104, Atlantique, Poitiers, 2002. Z´erosdefonctionsholomorphesetcontre-exemplesenth´eorie des radars ´ Gustavo GARRIGOS, Philippe JAMING & Jean-Baptiste POLYpecodeCeFRx,CEANth´eMaPB,IM2PSseuqitamosurut0F96869,17 R´ume´:uoNnomslotuoisnuapxorlbtronscommentlessetsdme`ee-eryp es constructiondephasesontli´eesauxze´rosdefonctionsholomorphes.Enpar-ticulier,leprobl`emedambiguite´radarses´epareendeuxproble`mesdistincts. Lepremier,quenousappelonsproble`merestreint,nefaitpasintervenirles ze´rosdefonctionsholomorphesetestenti`erementr´esoludans[Jam4]. Pourlesecond,nousapportonsunere´ponsepartielleviaunediscre´tisationdu proble`me.Onmontreainsiquelessolutionsquinesontpasd´ej`adessolutions du probleme restreint sont rares, mais existent. ` MotsCle´s:ra.mbigedaeraduit´me`lborP AMS subject class :42B10, 81S30, 94A12. 1.Introduction. Lesprobl`emesdereconstructiondephaseapparaissentdansdenombreuxdomainesdela physique (optique, cristallographie, physique quantique ...cf. s’agit de[FG] [Hu], [KST]). Il reconstruireunsignal`apartirdelaseuledonn´eedumoduledesatransform´eedeFourier, laphasee´tanteng´en´eralperduequandonmesurecessignaux.Detelsprobl`emessonten g´en´eralmalpose´set,sanshypoth`esesspl´ntaires,ilsontuneinnit´edesolutions. up eme Ilsetrouvequel´etudedeze´rosdefonctionholomorphesentreenjeudansladescription dessolutionsdetelsproble`mes(voirsection2.1). Danscetarticle,nousnousconcentronssurleprobl`emedambiguit´eradarou,pluspr´eci-s´ement,suruneversionendimensionniedecelui-ci: N ´=Xaneint Etantdonne´unpolynˆometrigonom´etriquef(t)spleustoerinrmte-oˆnylod,e´ n=0 N mestrigonom´etriquesg(t) =Xbneinttels que n=0 (PN)|Af(k, t)|=|Ag(k, t)|pour toutkZ, tR o`uAf(k, t) =Xanankeint. n Notreprincipalr´esultatestque,pourN,3elrpbo`lmeePNestbienpos´e(i.e.qu’il n’a quedessolutionstriviales)a`moinsquelescoecients(a0, . . . , aN) def`tannnetreiappanunecertainevari´ete´semi-alge´briquer´eelledeCN+1 Dede codimension reelle au moins 1. ´ plus,nousde´crivonsentie`rementcettevarie´t´edanslespetitesdimensions(N= 3 etN= 4) et montronsquelleestdecodimensionr´eelleexactement1.Enn,desexemplesdepolynoˆmes lacunairesmontrentquecettevari´ete´nestpasvidede`squeN3. 263
264 Cetarticleestorganise´commesuit:dansleprochainchapitre,nousd´ecrivonsquelques proble`mesdereconstructiondephase,lasection2.3´etantconsacre´eauprobl`emedambiguite´ radar.Lerˆoledecettepartie,quireprendlesr´esultatsdusecondauteur[Jam4],estessen-tiellementintroductif.Ensuite,nousexpliquonslepassageduprobl`emedambiguite´radarau proble`me(PNons4ectiLess).irtpoicna`aledcsompl`eteepsevitcs5tertnocrsaes´eenemontc des solutions pourN= 3 etNsuoccnulE.n,non=4roe´eme`rap6htelecasontisdonslan principaletsapreuve,lecaslacunaire´etantexpose´en6.4.
2.P ` roblemes de reconstruction de phase. 2.1.l.Leplboreme`ne´gare´ructonstephaiondlbe`psorreceemdsiuq,esLeusplmpsidele survient en optique, est le suivant : Probleme 1(Reconstruction de Phase). ` Soientu, vL2(R)mpcortpoupass`oneuqsellettcaxuofcnited|Fu(x)|=|Fv(x)|pour tout xR(Fnartrofsee´moFedieur.Pr)t-eud´ondeiuertnale´atvdeu? Dessolutionstrivialesa`ceproble`mesontv(t) =cu(t+a) etv(t) =cu(t+a) aveccT etaR,o`uTd´eytuepli,siofeutTo1.ledumodeeslpxecsmobmerseonblednsemelesign avoirdautressolutions.D´ecrivonslesbri`evement: Commeuppusctroea`tseneiW-ye,reor`eth´ePalemedtcd,moape`lsarpFuest une fonc-tionentie`redordre1detypeni.Dapr`eslethe´ore`medeHadamard,Fuadmet donc une factorisation de la forme : eα0+α1zzkm=Y11zzkez/zk ega avecmN,α0, α1Cet (zkszlero´e)edsemocsxelpFu. Commev´lemeestrottna`uspp compact,FvroemmefeemopC.mourmdacafenutetisaritomˆladeonx´eelr: 1zxkex/zk=1zxkex zkonend´eduitfacilementque(th´eo`eduˆa`Walther[Wa]): rem Une fonctionvL2(R)sa`oppucortacmp´etveri|Fv(x)|=|Fu(x)|pour toutxRsi et seulement s’il existecT,aRet un choixζk∈ {zk, zk},k= 1,2,3, . . ., tels que pour toutzC, Fv(z) =ceiazeα0+α1zzmkY=11ζzkez/ζk. Le choixζk∈ {zk, zk}el´peaprasezero flipping. Danscethe´ore`me,c,aainsi que le choixζk=zkpour toutk, correspondent aux solutions triviales.Onvoitdoncque,de`squeFurosnxzeeelsonr´auadsueomnigujus,´enoetonnc ´ ilexistedessolutionsnontrivialespourleprobl`eme1.Onpeutdoncsedemandersides conditionssuppl´ementairespeuventimpliquerlunicite´delasolution.Parexemple,nila positivite´deuugalir´te´earil,nC,enussent`agarantirlinu´tic(ecf.[Jam4]).