INSA Université Paul Sabatier Laboratoire Statistique et ...

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INSA Université Paul Sabatier Laboratoire Statistique et ...

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• Publié par: yhafutup
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• Langue: Français

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INSAUniversitePaulSabatier Laboratoire Statistique et Probabilites Finances et Mathematiques, modeles discrets, 1998-2000 INTRODUCTION C’estuncasparticulierdeproblemedecontroˆle.Lescourtiersechangent desactionsenbourse.Pourchoisirunestrategied’echangeoptimale(icile contrˆoleestlastrategied’echange),ilsconsultentlesdonneesinformatiques sur les consoles, les nouvelles economiques et politiques, etc. C’est un monde pleind’aleasquel’onessayedemodeliserentenantcomptedeselements suivants : -l’incertitude,l’alea(generalementsous-jacentauxprix): . - les informations au jour le jour (ltration observable) :(F t , t0)ouF t est la tribu engendree par les prix observes au tempst. - la consommation de biens et des ressources exogenes. - la strategie de portefeuille, c’est a dire les decisions a prendreDdont le resultatestlavaleurduportefeuilleavaleursdansRtout en tenant compte deventuellescontraintespermettantdedenirlescontroˆlesadmissibles. ’ -lespreferencesdesusagersquiaidentamunirDd’un ordre ; de fait l’utilite(ressentie)delarichesseetdelaconsommation. Aupointdevuevocabulaire,onauraafaireavec: - les biens d’echange (exchange goods) - les actifs nanciers (securities, stocks...) -lesagentseconomiques(traders) -lesressourcespercuesparcesagents(endowments),salaireparexemple. Onvaetudierd’abordunmodelesimple(chapitre1): . une periode de temps et deux dates :0et1 .desaleasennombreniautemps1: ={ω 1 ,


, ω K }, c’est a dire qu’il yaunnombrenid’etatsdelanaturepossiblesetdansunpremiertemps, ={ω 1 , ω 2 }. .desechangesen0et1 On peut ensuite generaliser a plusieurs etapest i ,en gardant de cardi- nal ni, muni d’une ltration, suite croissante de tribusF t i entseeprreuiq 1

l’information disponible au tempst i insttoutantsceceedseaahgnav, general,F 0 ={∅, }etF T =P( ).C’est l’objet du chapitre 2.

Enn, cardinal de DEA

on peut completement inni et le temps continu du second semestre.

generaliseravecun avaleursdans[0, T].

2

modelecontinu: C’est l’objet d’un

t i .En

de cours

1Marchesnanciersadeuxperiodes Voir le livre de R.A. Dana et M. Jeanblanc [1], chapitre 1.

1.1 Modele a deux dates, deux etats du monde, deux actifs 1.1.1 Description du modele Au temps0,l’actif vautS 0 ,au temps1,noteS 1 , il vaut soitS h ,soitS b .Ce sont les deux etats du monde pour cet actif a risque. Au temps0,l’actif sans risque vaut1,au temps1,il vaut1 +r, rest le rendement de cet actif, nomme parfois le “bond”.

Denition 1.1 l’acheteurOn appelle option d’achat (“call”) le contrat suivant : paye en0une sommeqitild’epolaibssdiulennoiuqrateheacpsemut1 l’action au prixK ensans en avoir l’obligation. Si1, S 1 > K,il exerce son droit et gagneS 1   K   q. Sinon, et s’il n’exerce pas son droit, il aura perdu + q.Globalement, il gagne(S 1   K)   q. On appelle option de vente (“put”) le contrat suivant : l’acheteur paye en0une sommeqseruaetpmonedneevleanpdosqsuiibliuliidt1l’action au prixK ensans en avoir l’obligation. Si1, S 1 < K,il exerce son droit et gagneK   S 1   q et s’il n’exerce pas son droit, il aura perdu. Sinon,q. Globalement, il gagne(K   S 1 ) +   q.

Leproblemeestalorsdetrouverunprix“equitable”(fair price),q,entre l’acheteur et le vendeur de ce contrat.

1.1.2 Portefeuille de couverture, valeur de l’option Valeurdel’optionsignievaleurduprixequitableq .IlestclairqueleseulcasinteressantestceluiouK∈]S b , S h [et ouE(S 1 ) S 0 (1 +r) autant tout mettre sur le bond !: sinon, cherche un portefeuille On (  ,), somme versee sur le bond,sur l’actif risque, qui “couvre” l’option, c’estadirequesavaleuren1:po’dnoitonecattrsehoelqualˆmmecearpproet →(1 +r); S 0 → S 1 .eelliuefcnodtsaledurnorteecepavelaL(1 +r)+ S 1 . Le couple(  ,)est solution du systeme : (1 +r)+ S h =S h   K; (1 +r)+ S b = 0

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