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Inverse pb Cubic Szego Lax pair Action angle Applications Proof Traveling waves

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33 pages
Inverse pb Cubic Szego Lax pair Action-angle Applications Proof Traveling waves Cubic Szego equation and inverse spectral problem Sandrine Grellier Universite d'Orleans- Federation Denis Poisson IHES/X Mai 2011 en collaboration avec P. Gerard (Universite Paris sud) Sandrine Grellier Cubic Szego equation and inverse spectral problem

  • action-angle applications

  • hankel operators

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  • adjoint hankel operators

  • inverse spectral


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Inverse pb
Cubic
Szego ¨
Lax pair
Action-angle
Applicat
Cubic Szego¨ equation and inverse spectral problem
Sandrine Grellier
Universite´dOrl´eans-F´ed´erationDenisPoisson IHES/X Mai 2011
en collaboration avecrd´eraP.G sud)(Universite´ Paris
Sandrine Grellier
CubicSzeg¨oequationandinversespectralproblem
Inverse pbxpLarAaiSzic¨oegbuCcatlgAeppiltcoi-nna Hankel operators
Givenc= (cn)n0a ”symbol”, define the operatorΓcby x= (xn)n0`2(N),Γc(x)n=Xcn+pxp. p=0 Letu(z) :=Pn0cnzn. 1Γcis offinite rankiffuis rational(Kronecker 1881). 2ΓcisHilbert–SchmidtiffuH1/2(T). 3Γcbelongs to the Schatten classSp, 0<p<iff uBp1,/pp(T)(Peller, Semmes 1984). ˆ 4ΓcisboundedifffL(T);cn=f(n),n0 or iff uBMO(T)(Nehari 1957). ˆ 5Γciscompactifff∈ C(T);cn=f(n),n0 or iff uVMO(T)(Hartman 1958).
SandrineGrellierCubicSzeg¨oequationandinversespectralproblem
Inverse pb Action-angle Applicat pair LaxCubic Szego¨ Inverse spectral problem for Hankel operators
LetuVMO(T)andcreal valuedso thatΓcis compact and selfadjoint. Non zero eigenvalues ordered so that
|ρ1| ≥ |ρ2| ≥ ∙ ∙ ∙ ≥ |ρj →| ≥ ∙ ∙ ∙0.
Inverse spectral problem ? Assume the generic case
|ρ1|>|ρ2|>∙ ∙ ∙>|ρj|>∙ ∙ ∙ →0.
Theorem (Megretskii, Peller, Treil 1995) csuch that theρj’s are the non-zero eigenvalues ofΓc.
Sandrine Grellier
CubicSzeg¨oequationandinversespectralproblem