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Jean Philippe Anker

De
232 pages
Claire Anantharaman Jean-Philippe Anker Martine Babillot Aline Bonami Bruno Demange Sandrine Grellier Franc¸ois Havard Philippe Jaming Emmanuel Lesigne Patrick Maheux Jean-Pierre Otal Barbara Schapira Jean-Pierre Schreiber THEOREMES ERGODIQUES POUR LES ACTIONS DE GROUPES

  • theoremes ergodiques en moyenne dans l2

  • inegalites maximales

  • theoreme de von neumann

  • developpement de la theorie ergodique des actions de groupes


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Claire Anantharaman
Jean-Philippe Anker
Martine Babillot
Aline Bonami
Bruno Demange
Sandrine Grellier
Fran¸cois Havard
Philippe Jaming
Emmanuel Lesigne
Patrick Maheux
Jean-Pierre Otal
Barbara Schapira
Jean-Pierre Schreiber
´ `THEOREMES ERGODIQUES POUR
LES ACTIONS DE GROUPES`TABLE DES MATIERES
Pr´eface ........................................................................ 1
Introduction .................................................................. 3
1. Principes de d´emonstrations d’un th´eor`eme ergodique .............. 11
1.1. Le th´eor`eme de von Neumann .......................................... 12
1.2. In´egalit´es maximales et principe de Banach ............................ 16
1.3. Les th´eor`emes ergodiques de Birkhoff et de Hopf-Dunford-Schwartz .. . . 20
2. Th´eor`emes g´en´eraux pour les groupes moyennables ................ 27
2.1. Groupes moyennables .................................................. 28
2.2. Th´eor`emes ergodiques pour les suites de Følner ........................ 33
2.3. Le principe de transfert ................................................ 39
3. In´egalit´es maximales et lemmes de recouvrement .................... 43
d3.1. Moyennes sur les boules de . .......................................... 44
3.2. Mesures doublantes et non doublantes .................................. 47
3.3. Suites doublantes d’un groupe .......................................... 56
3.4. Suites temp´er´ees ........................................................ 60
4. Un exemple: le groupe des affinit´es .................................... 75
4.1. Structure du groupe des affinit´es ........................................ 76
4.2. Suites de Følner dans le groupe des affinit´es ............................ 78
4.3. In´egalit´es maximales pour les boules hyperboliques .................... 82
4.4. In´egalit´es maximales pour d’autres sous-ensembles ...................... 88
4.5. Un th´eor`eme ergodique sur le groupe S ................................ 96d
5. Moyennes sph´eriques .................................................... 99
d5.1. In´egalit´es maximales pour les sph`eres de ............................100
d5.2. In´egalit´es maximales pour les sph`eres de ............................113
6. Th´eor`emes ergodiques pour une action d’un groupe libre ..........133
RRZ`iv TABLE DES MATIERES
6.1. Actions par isom´etries sur un espace m´etrique compact ................135
26.2. Th´eor`emes ergodiques en moyenne dans L ............................137
26.3. In´egalit´es maximales et th´eor`emes ergodiques ponctuels dans L ........144
p6.4. In´egalit´es maximales et th´eor`emes ergodiques dans L . ................151
6.5. Le th´eor`eme de Bufetov ................................................160
o7. Th´eor`emes ergodiques pour SO (d,1). ................................163
27.1. Th´eor`eme ergodique en moyenne dans L ..............................165
27.2. In´egalit´es maximales et th´eor`eme ergodique ponctuel dans L ..........170
p7.3. In´egalit´es maximales et th´eor`emes ergodiques dans L ..................176
7.4. Estimations des fonctions sph´eriques ....................................182
Postface ......................................................................187
A.R´egularit´edesrepr´esentationsetmesurabilit´edesfonctionsmaximales
..............................................................................191
A.1. Repr´esentations de G et deM(G) ......................................191
A.2. Mesurabilit´e des fonctions maximales ..................................194
´B. El´ements de th´eorie spectrale ..........................................197
∗B.1. C -alg`ebres commutatives ..............................................197
B.2. Le th´eor`eme spectral ..................................................198
C. Th´eor`eme de Rota pour une suite d’op´erateurs de Markov ........203
D. L’espace hyperbolique ..................................................209
D.1. Les diff´erents mod`eles ..................................................209
d+1D.2. Isom´etries de ....................................................211
D.3. Quelques formules ......................................................213
Bibliographie ................................................................215
Index ..........................................................................227
H´PREFACE
Celivreestissud’uns´eminairequis’esttenupendantplusieursann´eesa`l’universit´e
d’Orl´eans. Martine Babillot est `a l’origine de ce travail collectif. Son objectif ´etait
de rassembler autour de ce projet, coll`egues et ´etudiants en th`ese, en faisant interagir
leurs comp´etences compl´ementaires. De fait, le sujet ´etudi´e, par sa richesse et sa
diversit´e, se prˆete particuli`erement bien `a la collaboration d’analystes de cultures
diff´erentes.
Amos Nevo, qui a beaucoup contribu´e `a l’impressionnant d´eveloppement de la
th´eorie ergodique des actions de groupes, a fait plusieurs s´ejours a` Orl´eans. Son aide
a ´et´e pr´ecieuse et nous l’en remercions ici.
Au moment de la disparition de Martine Babillot, la r´edaction de cet ouvrage
´etait d´eja` bien entam´ee. Elle a ´et´e poursuivie ensuite, malheureusement `a un rythme
beaucoup moins soutenu, l’absence de l’enthousiasme communicatif de Martine se
faisant bien suˆr ressentir. Nous lui d´edions ce livre. Sans elle, il n’aurait pas exist´e.
Orl´eans, Janvier 2009INTRODUCTION
`A la suite des travaux de pr´ecurseurs comme H. Poincar´e, la th´eorie ergodique des
syst`emes dynamiques est n´ee vers 1930 avec les th´eor`emes de J. von Neumann et
de G. D. Birkhoff, qui donn`erent un cadre math´ematique rigoureux pour expliquer
l’hypoth`ese d’ergodicit´e en m´ecanique statistique. Cette hypoth`ese, formul´ee par
L.BoltzmannetJ.W.Gibbs,affirmeque,dansl’´evolutiond’unsyst`emedeparticules,
presque toutes les trajectoires s’´equir´epartissent sur les surfaces d’´energie constante
dans l’espace des phases.
La th´eorie ergodique s’est beaucoup d´evelopp´ee et interagit avec de nombreuses
branches des math´ematiques, comme la th´eorie des probabilit´es, l’analyse fonction-
nelle,lath´eoriedesnombres,lag´eom´etrieetlatopologiediff´erentielle. Nousmettrons
icienavantsesliensaveclath´eoriedesgroupeset,autraversdesin´egalit´esmaximales,
avec l’analyse fine.
L’objet de la th´eorie ergodique est l’´etude des syst`emes dynamiques du point de
vue de la th´eorie de la mesure. Un syst`eme dynamique mesur´e est un espace mesur´e
(X,B,m) muni d’une transformation τ (ou d’un semi-groupe un param`etre (τ ) )t t≥0
quipr´eservelamesurem. Leplussouventlamesuremestuneprobabilit´e. Enth´eorie
ergodiqueons’int´eressea`ladescriptiondespropri´et´esstatistiquesdestrajectoiresdes
pointssousl’it´erationdelatransformationeton´etablituneclassificationdessyst`emes
dynamiques mesur´es.
Un point de d´epart de l’´etude de ces propri´et´es est l’´etablissement de th´eor`emes
ergodiques, qui d´ecrivent le comportement asymptotique des moyennes “temporelles”
n−1X1 kA f(x)= f(τ x),n
n
k=0
ou` f est une fonction mesurable surX, a` valeurs r´eelles. Parmi les premiers r´esultats
th´eoriques importants figurent, comme nous l’avons dit, ceux de von Neumann et de
Birkhoff. Pour une fonctionf de carr´e int´egrable, von Neumann a montr´e que (A f)n
converge en moyenne quadratique vers une fonction laiss´ee invariante par τ, tandis4 INTRODUCTION
queBirkhoffa, desoncˆot´e,´etabliunth´eor`emedeconvergencepresquepartout. Dans
lecasou` lesyst`emedynamiqueposs`edelapropri´et´ed’irr´eductibilit´enaturelleappel´ee
ergodicit´e, la limite de la suite (A f) est la valeur moyenne de la fonction f pour lan
probabilit´e m : le th´eor`eme ergodique donne ainsi une description math´ematique
de l’hypoth`ese ergodique, c’est-`a-dire la co¨ıncidence entre moyennes spatiale et tem-
porelle, quand le temps est grand. Les lois des grands nombres du Calcul des Proba-
(1)bilit´es sont des cas particuliers de th´eor`emes ergodiques.
La transformationτ de l’espace (X,B,m) d´efinit une action du semi-groupe par
n(n,x)∈ ×X 7→nx =τ x. Quand la transformation est inversible, elle d´efinit une
action du groupe . Dans le pr´esent ouvrage, nous nous int´eressons principalement
aux extensions des th´eor`emes ergodiques dans le cadre plus g´en´eral d’une action de
groupe. Pour pouvoir ´enoncer l’analogue des deux th´eor`emes ergodiques, de Birkhoff
et von Neumann, il nous faut introduire l’analogue des moyennes temporelles qui y
1interviennent. Si μ est une mesure de probabilit´e sur G et si f ∈ L (X,m), nous
d´efinissons la moyenne μ·f par la formule
Z
μ·f(x)= f(gx)dμ(g).
G
Ainsi, la fonction A f ci-dessus n’est autre que la moyenne de f relativement a` lan
mesure de probabilit´e uniforme μ sur {0,1,...,n−1}. La question suivante est aun
cœur de nos pr´eoccupations : pour quelles suites (μ ) de mesures de probabilit´e surn
pG, et pour quels espaces L , les th´eor`emes de von Neumann et de Birkhoff restent-
ils vrais ? Il est ´egalement naturel de se pencher sur le mˆeme probl`eme avec des
∗familles (μ ) index´ees par . De telles moyennes interviennent dans l’´etude desr r>0 +
syst`emes dynamiques et sont aussi ´etroitement reli´ees a` des questions fondamentales
en analyse r´eelle et harmonique. Le th´eor`eme de diff´erentiation de Lebesgue en est
dune illustration ´el´ementaire. Son cadre est celui de l’action de sur lui-mˆeme par
translations. En prenant pour β la probabilit´e uniforme sur la boule de centre 0 etr
de rayon r, on a
Z Z
1 1
β ·f(x)= f(g+x)dg = f(g)dg,r
|B(0,r)| |B(x,r)|B(0,r) B(x,r)
ou` |B(x,r)| d´esigne le volume de la boule de centre x et de rayon r. Rappelons que
1 dle th´eor`eme de diff´erentiation de Lebesgue dit que, pour tout f ∈ L ( ), et pour
(1)La formulation des th´eor`emes de von Neumann et de Birkhoff s’´etend naturellement dans diverses
P
1 n−1 kdirections. En notant P l’application f 7→ f ◦τ, remarquons que A f s’´ecrit P f. Onn k=0n
ppeut alors, plus g´en´eralement, se donner un op´erateur born´e P de L (X,m), p ≥ 1, et ´etudier
“ ”P1 n−1 kla suite P f . On peut aussi consid´erer un op´erateur born´e (ou mˆeme un semi-groupek=0n
pd’op´erateurs) d’un espace de Banach plus g´en´eral qu’un espace L . Dans cet ouvrage, nous abor-
derons tr`es peu cet aspect, qui est trait´e en d´etail dans le livre de Krengel [Kre85]. Par ailleurs,
on peut remplacer la transformation “d´eterministe” τ par une r`egle de transition al´eatoire : c’est le
domaine des th´eor`emes ergodiques pour chaˆınes de Markov, qui ne sera pas ´etudi´e ici.
ZNNRRRINTRODUCTION 5
dpresque tout x ∈ , on a lim β ·f(x) = f(x). Cet aspect local ne sera pasr→0 r
´etudi´e dans notre ouvrage et nous nous limiterons `a l’´etude du comportement des
moyennes μ ·f quand r tend vers +∞. Nous ferons toutefois appel aux outils quir
sont traditionnellement utilis´es dans les g´en´eralisations du th´eor`eme de Lebesgue, a`
savoir les fonctions maximales et les lemmes de recouvrement.
On distingue deux types de th´eor`emes ergodiques, les th´eor`emes ergodiques en
pmoyenne, ou` on´etudielaconvergencedansL , etlesth´eor`emesergodiquesponctuels,
qui traitent de la convergence presque partout. Les th´eor`emes en moyenne ´etendent
le th´eor`eme de von Neumann et sont g´en´eralement plus accessibles que les th´eor`emes
ponctuels. Ils se d´emontrent, le plus souvent, par des m´ethodes de point fixe ou bien
2en utilisant la th´eorie spectrale dans L . La d´emonstration des th´eor`emes ponctuels
passe en g´en´eral par deux´etapes : on obtient d’abord la convergence presque partout
ppour les fonctions d’une famille dense dans L (X,m), puis `a l’aide d’une in´egalit´e
pmaximaleon´etendler´esultat`atoutL (X,m). Pr´ecisonsquecesin´egalit´esconcernent
?l’op´erateur maximal f 7→ f = sup |μ ·f|. Ce dernier est dit de type fort (p,p)rμ r>0
p ? p(ouborn´esurL )s’ilexisteC >0telquekf k ≤Ckfk pourtoutf ∈L (X,m). Sip pμ
? p p pon a seulement m({f >αkfk })≤ (C /α ) pour tout α> 0 et tout f ∈L (X,m),pμ
on dit que l’op´erateur maximal est de type faible (p,p).
Notre objectif est de pr´esenter un panorama des th´eor`emes ergodiques pour des
actions de groupes. Nous partons des r´esultats classiques des d´ebuts de la th´eorie
ergodique. Nous traitons apr`es le cas des actions de groupes moyennables, qui fut
longtempslecadrenatureldecetteth´eorie. Ensuitenousexposonsdestravauxr´ealis´es
essentiellement par A. Nevo ces quinze derni`eres ann´ees. Consacr´es a` des actions de
groupes non moyennables comme les groupes libres, les groupes hyperboliques ou les
groupes de Lie semi-simples non compacts, ces travaux marquent un tournant dans
l’´evolution de la th´eorie.
Concernantunsujetaussivaste,nousavonsduˆfairedeschoix. Deuxpr´eoccupations
nous ont guid´e dans notre travail :
– d’une part ˆetre accessible a` tout lecteur familier avec les bases de l’analyse
fonctionnelle, de la th´eorie de la mesure et des probabilit´es ;
– d’autre part d´egager un certain nombre d’id´ees fondamentales et les mettre en
œuvre dans des contextes vari´es, tout en donnant des pistes pour des lectures
compl´ementaires.
Venons-en `a une description plus d´etaill´ee du contenu du livre. Nous commen¸cons
dans le chapitre 1 par un expos´e ´el´ementaire du th´eor`eme de von Neumann puis du
th´eor`emedeBirkhoffsoussaformeplusg´en´eraledue`aHopfeta`DunfordetSchwartz.
Dans le chapitre 2, nous passons du cas des actions du groupe au cas des actions
d dd’un groupe moyennable G. Historiquement, les actions des groupes et furent
d’abord´etudi´ees,puisons’estprogressivementaper¸cuquelesmoyennessurdessuites
dde Følner conduisent aux mˆemes r´esultats que les moyennes sur des boules de par
RRRZZ6 INTRODUCTION
exemple, du moins en ce qui concerne les th´eor`emes ergodiques en moyenne. Plus
g´en´eralement, nous consid´erons une famille (μ ) asymptotiquement invariante (ou der
Følner)demesuresdeprobabilit´esurG,c’est-`a-diretellequelim δ ∗μ −μ =0r→+∞ g r r
∗ (2)pour toutg∈G (icir∈ our∈ ) . Alors des techniques classiques en analyse+
pfonctionnelle montrent que, pour tout f ∈ L (X,m), la famille (μ ·f) converger
pdans L vers une fonction G-invariante lorsque r tend vers +∞ (sous r´eserve que m
soit finie sip=1). Nous obtenons facilement aussi la convergencem-presque partout
ppourtouteslesfonctionsf d’unepartiedensedansL (X,m). Laconvergencepresque
ppartout pour toutes les fonctions de L (X,m) n’est pas toujours satisfaite et d´epend
de propri´et´es de (μ ) plus subtiles que l’invariance asymptotique. Suivant le principer
de Banach expos´e dans le chapitre 1, il suffit, pour ´etendre cette convergence `a tout
p ?L (X,m), de montrer que l’op´erateur maximal f 7→ f = sup |μ ·f| est de typerμ r
faible (p,p). Lorsque G est moyennable, ceci peut ˆetre ´etabli grˆace au principe de
transfert de Wiener et Calder´on. Le chapitre 2 se termine par la d´emonstration de
ce principe qui permet de se limiter, pour l’´etude d’in´egalit´es maximales, au cas de
l’action de G sur lui-mˆeme par translations.
Dans le chapitre 3, nous ne consid´erons que des mesures μ absolument conti-r
nues par rapport a` la mesure de Haar a` gauche λ sur un groupe localement compact
G. Plus pr´ecis´ement, on se donne une famille (F ) de parties mesurables de G der
mesure de Haar|F | finie etμ est la mesure de densit´e (1/|F |)1 . Nous pr´esentonsr r r Fr
plusieurs techniques de recouvrement permettant d’´etablir des in´egalit´es maximales
?pour l’op´erateur ϕ 7→ ϕ relatif `a l’action `a gauche de G sur lui-mˆeme. Nous com-μ
dmenc¸onsparlelemmeclassiquederecouvrementdeVitalipourlesboulesde , d’ou`
l’on d´eduit le th´eor`eme ergodique de Wiener relatif aux moyennes sur ces boules.
Dans la deuxi`eme section du chapitre 3, nous quittons momentan´ement le cadre
des actions de groupes pour ´etudier les moyennes centr´ees et non centr´ees sur les
dboules de , en effectuant ces moyennes non plus suivant la mesure de Lebesgue,
dmais suivant une mesure de Radon quelconque sur . Ce sujet intervient dans de
nombreux probl`emes classiques en analyse, comme l’´etude de la diff´erentiation des
int´egrales, l’´etude du comportement au bord des fonctions harmoniques, ou encore
la th´eorie des op´erateurs int´egraux de Calder´on-Zygmund. Si la mesure consid´er´ee
conserve la mˆeme propri´et´e de doublement de volume que la mesure de Lebesgue,
l’op´erateur maximal est encore de type faible (1,1), que les boules soient centr´ees
ou non. Dans le cas ou` la mesure d’une boule n’est plus comparable `a celle de la
boule de rayon double, le lemme de recouvrement de Besicovitch permet d’´etablir que
l’op´erateur maximal relatif aux moyennes sur les boules centr´ees est de type faible
(1,1). En revanche, pour les moyennes non centr´ees nous donnons un exemple, duˆ a`
P. Sj¨ogren, qui montre la n´ecessit´e, dans ce cas, d’hypoth`eses suppl´ementaires sur la
mesure de Radon consid´er´ee.
(2)L’existence d’une telle famille ´equivaut a` la moyennabilit´e de G.
RNRRR

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