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LAFILTRATIONCANONIQUEDESPOINTSDETORSIONDESGROUPES
p
-DIVISIBLES

LAURENTFARGUES
AVECLACOLLABORATIONDEYICHAOTIAN

Re´sume´.
E´tantdonne´unentier
n

1etungroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon
n
etdedimension
d
surunanneaudevaluationd’ine´galescaracte´ristiques,nousdonnonsune
borneexplicitesursoninvariantdeHassequiimpliquequesafiltrationdeHarder-Narasimhan
posse`deunsous-groupelibrederang
d
.Lorsque
n
=1nousrede´montronse´galementlethe´ore`me
d’Abbes-Mokrane([1])etdeTian([37])pardesme´thodeslocales.Onappliquecelaauxfamilles
p
-adiquesdetelsobjetsetenparticuliera`certainesvarie´te´sdeShimuradetypePELafinde
montrerl’existencedefamillescompatiblesdesectionsdecertainescorrespondancesdeHecke
surdesvoisinagestubulairesexplicitesdulieuordinaire.

Abstract.
Givenaninteger
n

1andatruncatedBarsotti-Tategroupoflevel
n
anddimension
d
overanunequalcharacteristicvaluationring,wegiveanexplicitboundonitsHasseinvariant
sothatitsHarder-Narasimhanfiltrationhasabreakwhichisfreeofrank
d
.When
n
=1we
alsogivealocalproofoftheAbbes-Mokrane([1])andTian([37])theorem.Weapplythisto
p
-adicfamiliesofsuchobjectsandinparticularprovetheexistenceofcompatiblefamiliesof
sectionsofsomeHeckecorrespondencesonexplicittubularneighborhoodoftheordinarylocus
insomePELtypeShimuravarieties.
1.
Introduction
1.1.
Soit
p
unnombrepremier.Soit
K
uneextensionvalue´ecomple`tede
Q
p
devaluationdiscre`te
et
A
unsche´maabe´liendedimension
g
sur
O
K
.Si
A
are´ductionordinairesurlecorpsre´siduel
de
K
et
n

1estunnombreentier,lespointsde
p
n
-torsionde
A
sontmunisd’unefiltration
canonique
0
−→
A
[
p
n
]
0
−→
A
[
p
n
]
−→
A
[
p
n
]
e´t
−→
0
ou`
A
[
p
n
]
0
estunsche´maengroupesdetypemultiplicatifd’ordre
p
ng
et
A
[
p
n
]
e´t
este´taledumeˆme
ordre.Soit
S
ord
lelieuforme´despointsa`bonnere´ductionordinairedansl’espaceanalytiquerigide
p
-adique
S
associe´auxvarie´te´sdeSiegeldeniveaupremiera`
p
.C’estunouvertadmissibleausens
delage´ome´trierigidequel’onpeutvoircommeletubeaudessusdel’ouvertd’ordinarite´dela
re´ductionmodulo
p
desmode`lesentierscanoniquesdecesvarie´te´s.Soit
S
P
n
−→S
lereveˆtement
e´talefiniassocie´ausous-groupedecongruence
∗∗P
n
=
x

GSp
2
g
(
Z
p
)
|
x

mod
p
n
,
∗0lesblocsdelamatricepre´ce´dentee´tantdetaille
g
×
g
.Surlelieuordinaire,lesfiltrationpre´ce´dentes
semettentenfamilleetfournissentunesectiondureveˆtement
S
P
n
→S
.Lorsque
n
varie,ces
filtrationsve´rifientcertainesrelationsdecompatibilite´.
Surlare´ductionmodulo
p
desvarie´te´sdeSiegel,ilyauneformeautomorphealge´briquede
poids
p

1.Savaluationde´finitunefonction

invariantdeHasse

Ha:
S−→
[0
,
1]
.
Date
:20octobre2011.
2010
MathematicsSubjectClassification.
14K02,14K10,14L05,11F33.
Keywordsandphrases.
Groupesp-divisibles,p-divisiblegroups,varie´te´sdeShimura,Shimuravarieties.
1

2LAURENTFARGUES
1−Deplus,lelieud’ordinarite´de
S
estexactementlelieuHa(
{
0
}
).Seposealorslaquestionde
savoirsil’onpeute´tendrepourun
n
donne´lasectioncanoniquepre´ce´dentesurunvoisinagetu-
bulaireHa

1
([0

n
[)de
S
ord
pourun
ǫ
n

Q
>
0
quel’onaimeraitpouvoircontroˆler.Laquestion
pre´ce´dentes’e´tendenunproble`meplusge´ne´ralconcernantlesgroupesdeBarsotti-Tatetronque´s
(pourl’e´tudedumeˆmeproble`medanslecasdesvarie´te´sdeShimuraautresquelesvarie´te´sde
Siegel,lecasdespointsdetorsiondessche´masabe´liensestinsuffisant).
Lecasdescourbeselliptiquesae´te´comple`tementre´soluparKatz([25])etLubin([30]).Dans
l’article[1]AbbesetMokraneontre´solulecasdesvarie´te´sabe´liennesdedimensionge´ne´rale
lorsque
n
=1,c’est-a`-direlecasdespointsde
p
-torsion.Ilsutilisentpourcelaladescription
donne´eparBlochetKatodescyclese´vanescents
p
-adiquessurlesvarie´te´sprojectiveslissesayant
bonnere´duction,couple´ea`lathe´oriedelaramificationde´veloppe´eparAbbesetSaitodans[2].
Dansl’article[37],Tianae´tendulere´sultatd’Abbes-MokraneaucasdesgroupesdeBarsotti-Tate
tronque´sd’e´chelon1.Ilfaitusagepourceladere´solutionsdetelsgroupespardessche´masabe´liens
etdesre´sultatsdeBloch-Katosurlescyclese´vanescents
p
-adiquesassocie´s.Dansl’article[3]
AndreattaetGasbarriontretrouve´lere´sultatd’Abbes-Mokranepard’autresme´thodesglobales,
c’est-a`-direfaisantintervenirdessche´masabe´liens.Conradamontre´dans[10]lasurconvergence
enge´ne´ralpourlespointsde
p
n
-torsiondessche´masabe´lienspourtout
n
maissansborneexplicite.
Lecasdesvarie´te´smodulairesdeHilbertae´te´e´tudie´ende´tailsdans[26],[21]et[22].Notons
enfinquedans[32],desre´sultatssurlessous-groupescanoniquesdeniveauquelconqueonte´te´
obtenuspasdesme´thodescomple`tementdiffe´rentes.Cesre´sultatsconcernentd’autresfiltrations
dessche´masengroupesfinisetplatsquecellesquenousutilisons(cesfiltrationsinterviennent
toutdemeˆmedanslasection3ou`nouslesappelonsfiltrationsderamificationinfe´rieurenaı¨ves,
maisuniquementcommeinterme´diairepourene´tudierd’autres).
1.2.
Nouscommenc¸onstoutd’abordparrede´montrerlethe´ore`med’Abbes-MokraneetTianpar
desme´thodeslocalesnefaisantpasintervenirdesche´masabe´liens(cependantcontrairementa`
AbbesetMokrane,nousnetraitonspasdanscetextelecasdessche´massemi-abe´liens).Nous
pre´cisonse´galementlecomportementdeleursfiltrationsvis-a`-visdeladualite´etdoncdespo-
larisations.Voicilethe´ore`mede´montre´danslasection6.Onfixeuneextensionvalue´ecomple`te
K
|
Q
p
pourunevaluationa`valeursdans
R
.Onsupposedeplusque
p
6
=2
,
3danslerestedecette
introduction.
The´ore`me
(The´ore`me4point(2)etCorollaire2)
.
Soit
G
ungroupedeBarsotti-Tatetronque´
d’e´chelon
1
,dehauteur
h
etdedimension
d<h
sur
O
K
.Soit
(
G
λ
AS
)
λ>
0
lafiltrationd’Abbes-Saito
1de
G
.SupposonsquesoninvariantdeHasse
w

[0
,
1]
soitstrictementpluspetitque
2
.Alors
pλwpour
p

1

λ<
p

1
(1

w
)
legroupe
G
AS
estderang
d
,inde´pendantde
λ
.Ilenestdemeˆme
de
G
D
,lafiltratione´tantalorsderang
h

d
.Pour
λ
commepre´ce´demment,vial’accouplement
G
(
O
K
)
×
G
D
(
O
K
)

F
p
(1)
,onal’e´galite´
(
G
D
)
λ
AS
(
O
K
)

=
G
λ
AS
(
O
K
)
.
Lade´monstrationdecethe´ore`mefaitintervenirunee´tudefinedel’applicationdeHodge-Tate
dessche´masengroupesfinisetplatssur
O
K
.Danslasection6nousde´montronsd’autresre´sultats
concernantcetteapplicationquisontutilesdanslasuite,notammentlere´sultatsuivant.
The´ore`me
(The´ore`me4point(3))
.
Sousleshypothe`sesduthe´ore`mepre´ce´dentlare´ductiondu
cranderang
d
delafiltrationde
G
modulolese´le´mentsde
O
K
devaluationsupe´rieureoue´gale
a`
1

w
coı¨ncideaveclenoyaudumorphismedeFrobeniusdelare´ductionde
G
.
L’undesre´sultats-clefspourlasuiteeste´galementlethe´ore`mesuivant(quidenotreavis,en
articlecf.section9.2).Si
E
estunsche´maengroupesfinietplatsur
O
K
onnotedeg(
E
)=
i
v
(
a
i
)
dehorsdel’existencedessous-groupescanoniques,estundesre´sultatslesplusimportants
P
decet
lorsque
ω
E
≃⊕
i
O
K
/a
i
O
K
,lavaluationdu

discriminant

de
E
.
The´ore`me
(The´ore`me4point(1))
.
Sousleshypothe`sespre´ce´dentessi
C

G
de´signelesous-
groupecanoniqueconstruitpre´ce´demmentalors
deg(
G/C
)=Ha(
G
)
.

LAFILTRATIONCANONIQUEDESPOINTSDETORSIONDESGROUPES
p
-DIVISIBLES3
1.3.
Lesecondbutdecetarticleestlesuivant.Dans[16]l’auteurade´veloppe´unethe´oriedes
filtrationsdeHarder-Narasimhandessche´masengroupesfinisetplats.Nousutilisonscettethe´orie
afindeconstruiredessous-groupescanoniquesenniveauquelconquedanslasection7.Voiciune
versionabre´ge´eduthe´ore`me6decettesection.
The´ore`me.
Soit
n

1
unnombreentier.Soit
G
ungroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon
n
,dehauteur
h
etdedimension
d<h
sur
O
K
.Soit
w

[0
,
1]
soninvariantdeHasse.Supposons
euq1w<
2
p
n

1
.
LafiltrationdeHarder-Narasimhande
G
posse`dealorsuncran
C
telque
C
(
O
K
)
soitun
Z
/p
n
Z
-
modulelibrederang
nd
.Lafiltrationde
G
D
posse`dee´galementuncran
D
telque
D
(
O
K
)
soit
librederang
n
(
h

d
)
.Deplus
C
(
O
K
)=
D
(
O
K
)

.
Lethe´ore`mepre´ce´dentestpluspre´cisausensou`ilcomprendunre´sultatdecompatibilite´
lorsque
n
varie.Si1

k<n
,l’adhe´rencesche´matiquedans
G
de
C
(
O
K
)[
p
k
],
C
k
,estuncrande
1lafiltrationdeHarder-Narasimhande
G
[
p
k
].Soit
ǫ
n
=
2
p
n

1
labornedonne´edanslethe´ore`me
pre´ce´dent.OnmontrealorsquelegroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon
n

k
,
p

(
n

k
)
C
k
/C
k
estd’invariantdeHassestrictementpluspetitque
ǫ
n

k
et
C/C
k
estlecrandesafiltrationde
Harder-Narasimhanlibrederang(
n

k
)
d
.Voiciundesautresre´sultatsquenousde´montronsdans
lasection7(cf.the´ore`me5etlecorollaire3).
1The´ore`me.
Soit
H
ungroupe
p
-divisiblesur
O
K
telque
Ha(
H
)
<
2
.Soit
C

H
[
p
]
lesous-groupe
canoniqueduthe´ore`mepre´ce´dent.

Si
Ha(
H
)
<
p
+11
alors
Ha(
H/C
)=
p
Ha(
H
)
.
11•
Si
p
+1

Ha(
H
)
<
2
alors
Ha(
H/C
)

1

Ha(
H
)
.
Enparticuliertoutgroupe
p
-divisiblenon-ordinairesur
O
K
estisoge`nea`ungroupe
p
-divisible
1d’invariantdeHassesup´erieuroue´gala`
2
.
Lecasdescourbeselliptiquesa`re´ductionsupersingulie`remontrequelethe´ore`mepre´ce´dentest
optimal.
Onremarqueraenfinquedans[38],YichaoTiande´montrequelesous-groupeplatfinipre´ce´dent
C
,quiestuncrandelafiltrationdeHarder-Narasimhande
G
etdontonamontre´qu’ilestuncran
delafiltrationd’Abbes-Saitolorsque
n
=1,este´galementuncrandelafiltrationd’Abbes-Saito
pourtoutentier
n
.Celacomple`tedonclesre´sultatspre´ce´dents.
1.4.
Onmontredans[16]quelesfiltrationsdeHarder-Narasimhandesgroupesfinisetplatsse
mettentenfamille.Lethe´ore`mequisuitde´coulealorsfacilementdesre´sultatspre´ce´dentsetde
ceuxde[16].Nouse´nonc¸onslethe´ore`medanslecasdesvarie´te´sdeSiegelmaiscelui-cis’appliquea`
d’autrescasdevarie´te´sdeShimuradetypePEL(parexempletoutescellesassocie´esa`ungroupe
desimilitudessymplectiquessuruncorpstotalementre´el).Ilestprobablequelestechniquesdecet
articles’appliquenta`touteslesvarie´te´sdeShimuradetypePEL(unefoisde´finiunboninvariant
deHassequimodifiel’invariantusuel).
Onnote
P
0
=Gsp
2
g
(
Z
p
).Si
n

k

0ilyaunecorrespondancedeHecke
SPnEπ
1
,n,k
yyyEEEE
π
2
,n,k
yyE|
|
yyyEE
"
"
S
P
k
S
P
k
ou`
π
1
,n,k
estl’applicationd’oubliduniveauet
π
2
,n,k
associea`uncouple(
A,C
)lecouple
(
A/C
[
p
n

k
]
,C/C
[
p
n

k
])ou`
A
estunevarie´te´abe´lienneprincipalementpolarise´eet
C

A
[
p
n
]un
sous-groupetotalementisotropemaximal.

4LAURENTFARGUES
The´ore`me
(The´ore`me8)
.
Posonspour
n

1
,
ǫ
n
=
2
p
n
1

1
.Pour
k

N
,
ǫ

Q
,
k

0
et
ǫ>
0
on
note
(
S
P
k
)
ord
(
ǫ
˚)
letubedulieuordinairedans
S
P
k
ou`l’invariantdeHasseeststrictementplus
petitque
ǫ
.
(1)
Ilyaalorspourtout
n

1
unesection
s
n
(
S
P
n
)
ord
]
]
(
ǫ
˚
n
)
π
1
,n,
0
s
n
S
ord
(
ǫ
˚
n
)
.
e´tendantlasectioncanoniquesurlelieuordinaire.
˚(2)
Posons
U
p
=
π
2
,
1
,
0

s
1
:
S
ord
(
21
)
→S
l’ope´rateur

quotientparlesous-groupescano-
˚nique

.Onaalorsenrestrictionautube
S
ord
(
p
+11
)
Ha

U
p
=
p
Ha
.
2−p(3)
Lorsque
ǫ<
p
(2
p

2)
lemorphismeinduit
U
p
:
S
ord
(
ǫ
˚)
→S
ord
(

˚)
este´talefinietsurjectif.
(4)
Onalesrelationsdecompatibilite´suivantes
π
1
,n,k

s
n
=
s
k
|S
ord
(
ǫ
˚
n
)
s
k

π
2
,n

k,
0

(
s
n

k
)
|S
ord
(
ǫ
˚
n
)
=
π
2
,n,k

s
n
.
1.5.
Disonsquelquesmotssurlastrate´gieutilise´epourde´montrerlesre´sultatspre´ce´dents.Nous
proce´donsa`unee´tudefinedel’applicationdeHodge-TatedesgroupesdeBarsotti-Tatetronqu´es.
Cettestrate´gien’estpasnouvellepuisqu’elleapparaitde´ja`dans[1]et[3]souslaformedel’e´tude
del’application

d
log

.Danscesarticles,lesauteurscaracte´risentlesous-groupecanoniquedes
pointsde
p
-torsiond’unevarie´te´abe´liennecommee´tantledualdunoyaudecetteapplication
d
log
(cf.parexemple[1]rem.6.1pourunetelledescriptionconjecturaleet[3]prop.13.4etsection
13.6).C’estla`quel’auteuraprisconnaissancedufaitquel’e´tudedel’applicationdeHodge-Tate
estunoutilpoure´tudierlessous-groupescanoniques.L’ingre´dientprincipalquenousajoutonsest
lesuivant.Si
G
estunsche´maengroupesfinietplatsur
O
K
sonapplicationdeHodge-Tateest
unmorphisme
α
G
:
G
(
O
K
)
−→
ω
G
D
⊗O
K
.
Onde´montreetutilisealorslere´sultatsuivantdethe´oriedeHodge
p
-adique(the´o.3):le
O
K
-
moduledetorsion
ω
G
D
⊗O
K
/
O
K
.
Im(
α
G
)
1estannule´par
p
p

1
.Cethe´ore`mecombine´a`desmanipulations

e´le´mentaires

,maisastucieuses,
d’alge`breline´aireetsurlesengroupesfinisetplatsfournitmiraculeusementlesre´sultatscite´s
pre´ce´demment(letermesembleadapte´car,partantdecere´sultatdethe´oriedeHodge
p
-adique,
lapreuveestunesuccessiondemanipulationsquis’emboıˆtentdefac¸onmyste´rieuse).
1.6.
Voiciunedescriptiondesdiffe´rentessectionsdel’article.
Lasection2contientdesrappelsetde´finitionssurl’invariantdeHasseetl’applicationdeHodge-
TatedesgroupesdeBarsotti-Tatetronque´s.Onyexplicitelelienentreordinarite´,invariantde
HasseetfiltrationdeHarder-Narasimhan.Leseulre´sultatoriginalestlaproposition2reliant
l’invariantdeHassed’un
BT
1
a`celuidesondualdeCartier.
Lasection3contientunargumentmontrantl’existenced’unebornenon-effective
ǫ
(
n,d,h
)
>
0
tellequesi
G
estun
BT
n
dehauteur
h
etdedimension
d
dontlavaluationdesoninvariantde
Hasseestpluspetiteque
ǫ
(
n,d,h
)alors
G
posse`deunsous-groupecanoniqueausensdesfiltrations
deHarder-Narasimhan(cf.prop.3).Pourlessche´masabe´liensetd’autresfiltrationsdessche´mas
engroupesfinisetplats,cetypedere´sultatnon-effectifae´te´obtenuparConraddans[10].Les
re´sultatsdecettesectionnesontpasutilise´sdanslasuitedel’article.Cependantleurpreuveest
e´le´mentaireetconstituetoutdemeˆmeunemotivationpourlesre´sultatseffectifsquisuivent.C’est

LAFILTRATIONCANONIQUEDESPOINTSDETORSIONDESGROUPES
p
-DIVISIBLES5
pourquoinousl’avonsinclus.
Lasection4contientdesproprie´te´sge´ne´ralesdesdiffe´rentesfiltrationsdessche´masengroupes
finisetplatsquenousutilisonsdanslasuite.Lepointprincipalestlaproposition6quiestune
preuvee´le´mentaireduthe´ore`me1.6de[37]reliantl’orthogonaldelafiltrationd’Abbes-Saitoa`la
filtrationdecongruencedudualde´finieparAndreattaetGasbarridans[3].
Lasection5contientlere´sultatcite´pre´ce´demmentsurleconoyaudel’applicationdeHodge-
Tated’ungroupefinietplat(lethe´ore`me3).Cettesectionpeuparaıˆtreinutilementlongue,mais
nousavonspre´fe´re´de´taillercere´sultatetl’incluredanslecorpsdutextepourdeuxraisons.Tout
d’abordils’agitdel’ingre´dientnouveauessentielparrapportauxtravauxd’Abbes-Mokraneet
Andreatta-Gasbarri.Deplus,cere´sultat,quel’auteurade´ja`utilise´dans[16]et[15],n’asemble-t-il
pase´te´remarque´auparavantetl’auteurpensequ’ilpourraitavoirdesapplicationsdansd’autres
contextes.L’auteuradoncde´cide´dede´taillercere´sultatetnotemmentdelemettreenperspective
parrapporta`lapresquede´compositiondeHodge-TatedeFontaine([18]).Lelecteurpeuxtre`s
bienadmettrecere´sultatdethe´oriedeHodge
p
-adiqueetlirelerestedel’article.
Lasection6estlecoeurdecetarticle.Lere´sultatprincipalenestlethe´ore`me4.Onyconstruit
lesous-goupecanoniqued’un
BT
1
commenoyaudel’applicationdeHodge-Tatele´ge`rementmo-
difie´e.Lepointnouveauparrapportauxre´sultatsde[1]et[3]estquel’onmontrequesi
C
estle
sous-groupecanoniquedu
BT
1
G
alorsledegre´dugroupefinietplat
G/C
este´gala`lavaluation
del’invariantdeHassede
G
(point(1)duthe´ore`me4).Cere´sultatestfondamental.C’estautour
decelui-ciques’articuletoutlerestedel’articleetenparticulierlaconstructiondusous-groupe
canoniquedes
BT
n
pourtoutentier
n
.Outrelere´sultatcite´pre´ce´demmentsurleconoyaude
l’applicationdeHodge-Tate,lapreuveduthe´ore`me4utiliseunargumentdede´coupagedugroupe
platfini
G/C
enuneextensionsuccessivesdegroupesdeOort-Tate(groupespourlesquelsonpeut
calculerexplicitementleurapplicationdeHodge-Tate).Celapeutparaıˆtrenaı¨faupremierabord,
maiscombine´a`desargumentsd’alge`breline´aireceladonnelere´sultat.
Danslasection7onconstruitlesous-groupecanoniqueenniveauquelconqueetonde´montre
sesproprie´te´se´nonce´espre´ce´demment(the´ore`me6).Lepointconsistea`effectuerunere´currence
a`partirdessous-groupescanoniquesdes
BT
1
.Pluspre´cise´ment,sil’onsupposeconstruitlesous-
groupecanoniquedes
BT
n
et
G
estun
BT
n
+1
onregardele
BT
n
(
G/C
)[
p
n
]ou`
C
estlesous-groupe
canoniquede
G
[
p
].Graˆceaure´sultate´nonce´pre´ce´demmentsurledegre´de
G
[
p
]
/C
,ondispose
d’unboncontroˆlesurlavaluationdel’invariantdeHassede(
G/C
)[
p
n
]etonpeutluiappliquer
l’hypothe`sedere´currence.Celapermetdeconstruireunsous-groupefinietplat
D
de
G
contenant
C
ettelque
D/C
soitlesous-groupecanoniquede(
G/C
)[
p
n
].Ils’agitensuitedemontrerque
D
satisfaitauxproprie´te´sdemande´espourlesous-groupecanonique.
Lasection8contientlesapplicationsauxvarie´te´sdeShimurae´nonce´espre´ce´demment.Ils’agit
d’unetraductionge´ome´triquedesre´sultatspre´ce´dents.
J’aimeraisexprimermesremerciementsa`YichaoTianquidansunelettre(
[36]
)m’aexplique´
commentaboutirauxre´sultatsfinauxdelasection7a`partird’uneversionpre´liminairedecet
article.Jeremerciee´galementFaridMokrane,Marc-HubertNicole,VincentPilloni,TorstenWed-
hornetDanielWortmannpourdesremarquesetdescorrections.

Notations
Soit
p
unnombrepremier.Onfixe
K
|
Q
p
uneextensionvalue´ecomple`tepourunevaluation
v
:
K

R
∪{
+
∞}
telleque
v
(
p
)=1.Onnefaitaucunehypothe`sesurlecorpsre´siduelde
K
.Lavaluation
v
peuteˆtrequelconque,pasforce´mentdiscre`te.Si
t

R
>
0

v
(
K
×
)onnotera
m
K,t
=
{
x
∈O
K
|
v
(
x
)

t
}
et
O
K,t
=
O
K
/
m
K,t
.Si
M
estun
O
K
-moduleonnote
M
t
:=
M
⊗O
K,t
.

6LAURENTFARGUES
Onfixeunecloˆturealge´brique
K
de
K
.Onutiliseralemeˆmetypedenotations
m
K,t
,
O
K,t
,
M
t
×pour
t

v
(
K
)et
M
un
O
K
-module.
Si
M
estun
O
K
-moduledepre´sentationfinieannule´parunepuissancede
p
,onnote
deg(
M
)=
v
(Fitt
0
M
)
ou`Fitt
0
M
de´signele0-ie`meide´aldeFittingde
M
etsi
I
estunide´alnonnuldetypefinide
O
K
onnote
v
(
I
)=
v
(
a
)si
I
=(
a
).End’autrestermes,si
M
≃O
K
/a
i
O
K
,deg(
M
)=
v
(
a
i
).On
PLi

Ii

I
utiliselemˆemetypedenotationspourun
O
K
-moduledepre´sentationfinie.Onremarqueraque
cettefonctiondegre´estadditivesurlessuitesexactesdemodulesdutypepre´ce´dent.
Touslessche´masengroupesfinisetplatsquenousconside´ronsdanscetarticlesontsuppose´s
commutatifs.Onnote
G
7→
G
D
ladualite´deCartierdetelssche´masengroupes.
Nousutilisonslathe´oriede´veloppe´edans[16].Rappelonsenparticulierlesnotationssuivantes.
Si
G
estunsche´maengroupescommutatiffinietplatd’ordreunepuissancede
p
sur
O
K
onnote
ht(
G
)=log
p
|
G
|
etdeg(
G
)=deg(
ω
G
).Enfin,si
G
estnonnul,sapentedeHarder-Narasimhan
estparde´finition
Gged
(
G
)=

[0
,
1]
.
GthRappelonse´galement([16])quel’onpeutassociera`untel
G
unpolygonedeHarder-Narasimhan
quenousnotonsHN(
G
).Remarquonsenfinleproble`medeterminologiesuivantequinousl’espe´rons
negeˆnerapastroplelecteur;si
G
estungroupedeBarsotti-Tatetronque´parde´finitionsahauteur
estlahauteurausenspre´ce´dentdesespointsde
p
-torsionetnonde
G
luimeˆme.
2.
Groupes
p
-divisiblesordinairesetinvariantdeHasse
2.1.Quelquesrappelssurlesgroupesfinislocalementlibresencaracte´ristique
p
.
2.1.1.
Groupesannule´sparleurVerschiebung.
Soit
S
unsche´matelque
p
O
S
=0.Si
M
est
unfaisceauquasi-cohe´rentde
O
S
-modulesonnote
M
lefaisceaufppfassocie´.Lorsque
M
est
localementlibrederangfini
M
estrepre´sentableparun
S
-sche´maengroupeslocalementisomorphe
pourlatopologieZariskide
S
a`unesommedecopiesdugroupeadditif
G
a
.Pourunfaisceaude
groupesabe´liensfppf
F
sur
S
onnote
F
(
p
)
=Frob
S

F
et
F
:
F→F
(
p
)
lemorphismedeFrobenius
relatif.Si
M
estunfaisceaucohe´rentonnote
M
(
p
)
=Frob
S

M
.Lesnotationspre´ce´dentessont
compatiblesausensou`(
M
)
(
p
)
=
M
(
p
)
quel’onnoteradoncsansambiguı¨te´
M
(
p
)
.
Soit
C
lacate´gorieforme´edescouples(
M

)ou`
M
estun
O
S
-modulelocalementlibrederang
finiet
ψ
:
M→M
(
p
)
.D’apre`slethe´ore`me7.4de[20],ilyaunee´quivalencedecate´gories
∼C


S
-sche´masengroupesfinislocalementlibresannule´spar
V
ou`
V
de´signeleVerschiebung.Cettee´quivalencesede´critdelafac¸onsuivante.Aucouple(
M

)
onassocielesche´maengroupes
G
noyaude
F

ψ
,
ψ−F0
−→
G
−→M−−−−→M
(
p
)
−→
0
.
)p(Augroupe
G
annule´par
V
onassocielecouple(
ω
G
D

G
)ou`
ψ
G
:
ω
G
D

ω
(
G
D
)
(
p
)
=
ω
G
D
estle
morphismeinduitpar
F
:
G

G
(
p
)
.
Si
G
estun
S
-sche´maengroupesfinilocalementlibre,ilyaunmorphismecanonique
α
G
:
G
−→
ω
G
D
universelpourlesmorphismesde
G
versunfaisceaudelaforme
M
avec
M
quasi-cohe´rent.Ilest
de´finidelafac¸onsuivante:
α
G
:
G
=
H
om
(
G
D
,
G
m
)
−→
ω
G
D
Tdx
7−→
x

.
TOnadeplusl’e´galite´(
F

ψ
G
)

α
G
=0,ou`
ψ
G
estde´finicommepre´ce´demment.

LAFILTRATIONCANONIQUEDESPOINTSDETORSIONDESGROUPES
p
-DIVISIBLES7
Si
H
estlegroupeannule´par
V
associe´a`(
M

)alors,vial’identification
ω
H
D
=
M
,leplonge-
mentcanonique

→M
este´gala`
α
G
.Eneffet,lemorphisme
α
H
estcompatibleauchangement
debase,fonctorielen
H
etunesectionde
H
estdonne´eparunmorphisme
Z
/p
Z

G
.Ilsuffit
dI−Falorsdeve´rifierquepour
H
=
Z
/p
Z
=ker(
G
a
−−−→
G
a
),leplongement
Z
/p
Z

G
a
este´gala`
α
Z
/p
Z
cequineposepasdeproble`me.
Si
H
estungroupeannule´par
V
commepre´ce´demment,lefoncteur
E
7→
(
ω
E
D

E
)induitla
formuled’adjonctionpourtoutsche´maengroupesfinilocalementlibre
G
(the´ore`me7.2de[20])
∼Hom(
G,H
)


Hom(
ω
G
D

G
)
,
(
ω
H
D

H
)
.
L’inversedecetisomorphismeestdonne´par
α
G
etlaformule
H
=ker(
F

ψ
H
).
2.1.2.
Lecasdes
BT
1
.
OnrenvoieauchapitreIde[31]eta`[24]pourlesge´ne´ralite´sconcernant
lesgroupesdeBarsotti-Tatetronque´s.Soitmaintenant
G
ungroupedeBarsotti-Tatetronque´
d’e´chelon1sur
S
.Lemodule
ω
G
D
estalorslocalementlibre.Vial’e´quivalencedecate´gories
pre´ce´dente,lecouple(
ω
G
D

G
)correspondaugroupeannule´par
V
,
G/
ker(
F
).Ilyaalorsune
suiteexacte
0
−→
ker
F
−→
G
−−
α

G

ω
G
D
−−
F



ψ

G

ω
(
p
D
)
−→
0
.
GCettesuiteexacteesta`labasedel’ide´esuivantesurlaquellesefondelasection6decetarticle,
laconstructiondelafiltrationcanoniquedespointsde
p
-torsion.Supposonsque
G
proviennepar
re´ductionmodulo
p
d’ungroupedeBarsotti-Tatetronque´
G

etquel’onveuillereleverlenoyau
duFrobeniusde
G
enunsous-groupede
G

.L’application
α
G
serele`vetoujourscanoniquement
enuneapplication
α
G

etilestlogiquedes’inte´resseraunoyaude
α
G

.
Lapropositionsuivanteseratre`sutileplustard.
Proposition1.
Soit
G
ungroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon
1
surunsche´maannule´
par
p
.Soit
C

G
unsous-groupefinilocalementlibre.L’inclusion
C

ker
F
G
estve´rifie´esiet
seulementsil’application
ω
C
D
−→
ω
G
D
estnulle.
De´monstration.
Lemorphismecompose´


G
։
G/
ker
F
estdonne´d’apre`slaformule
d’adjonctionpre´ce´denteparlemorphismeassocie´(
ω
C
D

C
)

(
ω
G
D

G
).

2.2.InvariantdeHassed’ungroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon1.
2.2.1.
Lecasd’unpoint.
Soit
G
ungroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon1,dedimension
d
etdehauteur
h>d
surSpec(
O
K
).Le
O
K,
1
-module
ω
G
D
estlibrederang
h

d
.Onade
plusl’e´galite´
ω
G
D
=
ω
G
D
⊗O
K,
1
.Onnoteencore
ψ
G
pour
ψ
G
⊗O
K,
1
.Prenantlede´terminantdece
morphismede
O
K,
1
-modules,onobtientune´le´ment
H
f
a(
G
)

det(
ω
G
D
)

(
p

1)
.
Defac¸one´quivalente,apre`savoirfixe´unebasede
ω
G
D
,prenantlavaluationdude´terminantde
ψ
G
,onvoitcetinvariantdeHassecommeune´le´ment
Ha(
G
)

[0
,
1]
.
Onremarquerabiensuˆrquesi
L
|
K
estuneextensionvalue´ecomple`tealors
Ha(
G
)=Ha(
G

O
K
O
L
)
.
2.2.2.
Lecasdesfamilles.
Soit
K
|
Q
p
commepre´ce´demment.Soit
X
unSpf(
O
K
)-sche´maformel
topologiquementdetypefinisans
p
-torsion(unsche´maformeladmissibleausensdeRaynaud,cf.
[8]).Soit
G
ungroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon1,dedimension
d
etdehauteur
h
sur
X
.Le
O
X
/p
O
X
-module
ω
G
D
estlocalementlibrederang
h

d
.Onnote
ψ
G
:=
ψ
G
mod
p
.Prenant
lede´terminantde
ψ
G
onobtientalorsuninvariantdeHasse
H
f
a(
G
)

Γ
X
,
det(
ω
G
D
)

(
p

1)
.

8LAURENTFARGUES
VoyantcetinvariantcommeunmorphismeH
f
a(
G
):
O
X
/p
O
X
−→
det(
ω
G
D
)

(
p

1)
,ilinduitun
morphismeH
f
a(
G
)

:det(
ω
G
D
)

(1

p
)
−→O
X
/p
O
X
etdoncenparticulierunfaisceaud’ide´aux
cohe´rent
Ha
I
(
G
)
⊂O
X
contenant
p
O
X
ettelqueHa
I
(
G
)
/p
O
X
=Im(H
f
a(
G
)

)soitlocalementengendre´parune´le´ment.
tioSf
:
Y
−→
X
unmorphismedesche´masformelsdutypepre´ce´dent.Posons
f

G
:=
G
×
X
Y
.Ilyauneidentifi-
cation
∗ω
(
f

G
)
D
=

G
D
.
Onve´rifieaussitoˆtlesformules
H
f
a(
f

G
)=
f

H
f
a(
G
)
Ha
I
(
f

G
)=
O
Y
.f

1
Ha
I
(
G
)
.
Soit
π
:
X
e
−→
X
l’e´clatementformeladmissibledel’ide´alHa
I
(
G
).Lediviseurexceptionnelde
π
estl’ide´alHa
I
(
π

G
).Quittea`faireune´clatementformeladmissibledelabase,onpeutdonc
toujourssupposerqueHa
I
(
G
)de´finitundiviseurdeCartiersurcettebase.
Soient
X
rig
,resp.
X
an
,lafibrege´ne´riquede
X
comme
K
-espacerigide([8]),resp.comme
K
-
espaceanalytiqueausensdeBerkovich([4]).Si
x

X
an
onnote
K
(
x
)lecorpsre´siduelassocie´,un
corpsvalue´completextensionde
K
.Rappelonsquelespointsde
X
rig
s’identifientaux
x

X
an
telsque[
K
(
x
):
K
]
<
+

.A`unpoint
x

X
an
estassocie´unespe´cialisation
G
x
de
G
,ungroupe
deBarsotti-Tatetronque´sur
O
K
(
x
)
.Onpeutdoncde´finirl’invariantnume´rique
Ha(
G
x
)

[0
,
1]
.
Onremarqueraquecetinvariantnede´pendquedel’ide´alHa
I
(
G
).Onve´rifiefacilementlelemme
quisuit.
Lemme1.
Lafonction
|
X
an
|−→
[0
,
1]
x
7−→
Ha(
G
x
)
×estcontinue.Deplussi
ǫ

[0
,
1]

v
(
K
)
leferme´
{
x

X
an
|
Ha(
G
x
)

ǫ
}
estundomaineanalytiquedans
X
an
associe´a`unouvertadmissiblequasicompactde
X
rig
.De
meˆmeenremplac¸antferme´parouvert,

par
<
etenenlevantl’assertiondequasicompacite´.
2.2.3.
Compatibilite´a`ladualite´.
Soit
G
de´finisur
X
commedanslasection2.2.2pre´ce´dente.
Proposition2.
Supposons
0
<d<h
.Ilyaunisomorphismecanonique
det(
ω
G
)

(
p

1)

det(
ω
G
D
)

(
p

1)
.Viacetisomorphisme
H
f
a(
G
)=H
f
a(
G
D
)
.
De´monstration.
Notons
X
lare´ductionmodulo
p
de
X
,Σ=Spec(
F
p
)et
G
lare´ductionmodulo
p
de
G
.Soit
1E
=
E
xt
cris
(
G
,
O
X/
Σ
)
X
l’e´valuationducristaldeDieudonne´contravariantde
G
surl’e´paississementtautologique([7],
chapitre3),un
O
X
-modulelocalementlibrederang
h
.Ilyaunesuiteexactede
O
X
-modules
localementlibres
∨0
−→
ω
G
−→E−→
ω
G
D
−→
0
.

LAFILTRATIONCANONIQUEDESPOINTSDETORSIONDESGROUPES
p
-DIVISIBLES9
Soient
F
:
G−→G
(
p
)
lemorphismedeFrobeniusde
G
et
V
:
G
(
p
)
−→G
sonVerschiebung.Ils
induisentdesmorphismes
F

:
E
(
p
)
−→E
V

:
E−→E
(
p
)
.
Cesdeuxmorphismessontcompatiblesa`lasuiteexactepre´ce´dente
0
/
/
O
O
ω
G
/
/
O
O
E
/
/
ω
O
O
G

D
/
/
0
F

V

F

V

F

V






0
/
/
ω
(
Gp
)
/
/
E
(
p
)
/
/
(
ω
G

D
)
(
p
)
/
/
0
.
Enrestrictiona`
ω
(
Gp
)
lemorphisme
F

estnul.Ilsefactorisedoncenunmorphisme
F

:(
ω
G

D
)
(
p
)
−→E
.
Lemorphisme
V

:(
ω
G

D
)
(
p
)
−→
ω
G

D
estnuletdonc
V

:
E−→
ω
(
p
)
.
GIlyaunesuiteexactedecomplexesparfaitsde
O
X
-modules(danslediagrammequisuitles
complexessontlesligneshorizontales)
∗ω
GV
/
/
ω
(
Gp
)

∗∗(
ω
G

D
)
(
p
)
F
/
/
E
V
/
/
ω
(
Gp
)

∗(
ω

D
)
(
p
)
F
/
/
ω
G

D
.
GNotons0

C
1
−→
C
2

C
3

0cettesuite.Chacundecescomplexesparfaitsestderangnul.
Lediagrammepre´ce´dentinduitdoncunisomorphisme([27])
∼det(
C
1
)

det(
C
3
)


det(
C
2
)
.
Onadet(
C
1
)=
ω
G

(
p

1)
etdet(
C
3
)=
ω
G

(
D
1

p
)
.Remarquonsmaintenantqu’e´tantdonne´que
G
estungroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon1,lecomplexe
C
2
estexact.Ilyadoncun
isomorphismecanoniquedet(
C
2
)


→O
X
quiinduitl’isomorphismecherche´
ω
G

(
p

1)

ω

(
D
p

1)
.
GSupposonsmaintenantquesurunouvertsche´matiquementdensede
X
lescomplexes
C
1
et
C
3
soientacycliques.LesinvariantsHa(
G
)etHa(
G
D
)sontdoncdesdiviseursdeCartier.Avecles
notationsduchapitreIIde[27]celainduitunee´galite´dediviseursdeCartier
0=Div(
C
2
)

Div(
C
1
)+Div(
C
3
)=Ha(
G
D
)

Ha(
G
)
.
Onende´duitlere´sultatsousl’hypothe`sepre´ce´dente.Passonsaucasge´ne´ral.Soit
Y
lefoncteur
quia`un
F
p
-sche´ma
S
associelesclassesd’isomorphismesdecouples(
H,α
)ou`
H
estungroupe
h∼deBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon1,dehauteur
h
etdedimension
d
et
α
:
O
Sp

→O
H
un
isomorphismede
O
S
-modules.Onve´rifieaise´mentqu’ilestrepre´sentableparun
F
p
-sche´madetype
fini.D’apre`slepointa)duthe´ore`me4.4de[24],cesche´maestlissesurSpec(
F
p
).Laproposition
A.2.2.1de[24]impliquequel’ouvertd’ordinarite´dans
Y
estdense.Ilestdoncsche´matiquement
dense.Soit
H
legroupedeBarsotti-Tatetronque´universelsur
Y
.D’apre`sl’e´tudepre´ce´denteon
aHa(
H
)=Ha(
H
D
).Orilexisteundiagrammedesche´mas
′XGg
wwwGGG
f
G
{
{
wwwGG
#
#
YX

10LAURENTFARGUES
telque
g
soitfide`lementplat(unGL
p
h
-torseur)et
g

G≃
f

H.
Onende´duitque
g

Ha(
G
)=
g

Ha(
G
D
).Lemorphisme
g
e´tantfide`lementplatonende´duitque
Ha(
G
)=Ha(
G
D
).

Remarque1.
Lapreuvedelapropositionpre´ce´denteutiliselefaitque
G
estungroupede
Barsotti-Tatetronque´.Unteltyped’e´nonce´n’existepaspourdesgroupesplatsfinisplusge´ne´raux.
Pluspre´cise´ment,soit
G
unsche´maengroupesdeOort-TatesurSpec
(
O
K
)
(
[35]
).Ona
G

Spec
(
O
K
[
T
]
/
(
T
p

δT
))
et
G
D

Spec
(
O
K
[
T
]
/
(
T
p

γT
))
ou`
γ,δ
∈O
K
sonttelsque
γδ
estune
sommedeGaussdevaluation
p
-adique
1
.LeVerschiebung
V
:(
G
⊗O
K,
1
)
(
p
)

G
⊗O
K,
1
est
induitparlemorphismed’alge`bre
O
K,
1
[
T
]
/
(
T
p

δT
)
−→O
K,
1
[
T
]
/
(
T
p

δ
p
T
)
T
7−→
γT.
Appliquantcelaa`
G
D
,onvoitquelemorphisme
F
G

:
ω
G
D

ω
(
Gp
D
)
s’identifiea`
O
K

O
K
−→O
K
/
(
p,γ
p
)

7−→
δ
mod
(
p,γ
p
)
.
(
p
)(
p
)
Onende´duitquepour
F
G

:
ω
G
D

ω
G
D
et
F
G
D

:
ω
G

ω
G
ona
deg(coker(
F
G

))=inf
{
v
(
δ
)
,pv
(
γ
)
}
deg(coker(
F
G
D

))=inf
{
v
(
γ
)
,pv
(
δ
)
}
quinesontpase´gauxenge´ne´ral.
2.2.4.
Calculexplicitesurlesespacesdede´formation.
Soit
H
ungroupe
p
-divisibledehauteur
h
etdedimension
d
sur
F
p
.Soit(
M,F,V
)soncristaldeDieudonne´covariant.OnadoncLie
H
=
M/VM
.Fixonsunebase(
e
1
,...,e
h
)du
W
(
F
p
)-modulelibre
M
telleque
e
1
,...,e
d
induiseune
basede
M/VM
et
e
d
+1
,...,e
h

VM
.Soit
A

GL
h
(
W
(
F
p
))lamatricetelleque
Fe
1

e
1

..eFdA=V

1
e
d
+1
.
.




.

V

1
e
h
e
h
Soit
X
l’espacedede´formationparisomorphismesde
H
,unSpf(
W
(
F
p
))-sche´maformel.Soit
B
=0
IA

GL
h
WW
(
F
p
)
J
x
ij
K
1

1
j
≤≤
ih
≤−
dd
.
I
d
[
x
ij
]

d−h∼D’apre`slaformule(86)page174de[41]ilexisteunisomorphismeSpf(
W
(
F
p
)
J
x
ij
K
)
−→
X
et
unebase(
ǫ
1
,...,ǫ
h
)duDisplaydelade´formationuniverselletelleque
B
soitlamatriceexpri-
mant(

1
,...,Fǫ
d
,V

1
ǫ
d
+1
,...,V

1
ǫ
h
)enfonctionde(
ǫ
1
,...,ǫ
h
).Soit
B
˜

GL
h
(
W
(
F
p
)
J
x
ij
K
)
lare´ductionde
B
via
WW
(
F
p
)
J
x
ij
K

W
(
F
p
)
J
x
ij
K
).Si
A
=
A
1
A
2
AA43avec
A
1
detaille(
d,d
)alors
B
˜=
A
1
+(
x
ij
)
i,j
.A
3

.
∗∗