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M2R TheorieErgodique
o Feuille d’exercices n1
UniversitedeGrenoble 2009/2010
NB:touteslesmesuresquelonconsidereraserontdesmesuresdeprobabiliteboreliennes.
Exercice 1 : 1 SoitRnote. OnR:x7→x+la rotation d’angleuslrenitcleuecerT. Donner desmesuresdeprobabiliteinvariantespourlapplicationR. 1 Montrer que la mesure de Lebesguesur le cercleTest invariante par la dilatation M:x7→2x.
Exercice 2 : Soithune application de [0,1] dans [0,islantsa1].senneiesborellesmesuretottuseniavirna Montrer quehId. Exercice bonus :soitXemeupnairuabelseetmreisqdemuneppesocraruudeeniltabib . Soithune application laissant invariantes toutes les mesures absolument continues par rapportaque pour. Montrerpresque toutx,h(x) =x.
Exercice 3 : Onconsideresur[0,1] l’application ½ x/2 si0< x1 h:x71 six= 0 Montrer quehedeemploD.etnaixenurennlibibaroarnveitnmdauresepedpaetemsd fonction continue sur ]0,1q]einvariante.erusrpedbabotilinuimeadastpmede
Exercice 4 : Transformation de Gauss On appelle transformation de Gauss l’application: [0,1][0,peinra]1ed ¹ º 1 1 (x) =x x oubycdeentierealaptreidsegieny. LapplicationdeGaussestlieealecrituredesnombressousformedefractioncontinue.
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