Master de Mathématiques 1`ere année, spécialités IMIS et Maths ...

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Master de Mathématiques 1`ere année, spécialités IMIS et Maths ...

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• Publié par: abubidur
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• Langue: Français

Extrait

e`re MasterdeMath´ematiques1ann´ee,spe´cialite´sIMISetMaths, anne´euniversitaire2005−2006

Examen de janvier 2006 (dur´ee3h,documentsautoris´esa`l’exceptiondeslivres)

Exercice 1 Onconsid`ereunprocessusdePoisson(T n ) n≥1 dtream`eeparλ, de fonc- tion de comptageN(trra’e´viu’deve´nteensiletanssdnt´enement.esr´eplr.I) Lecoˆutdel’e´v´enementd´ependdeladate`alaquelleilseproduit:s’ilalieu `al’instantxtosceutˆsnoϕ(xyemootntecrlutoˆlaC.eluc)etnreavlllauslri’ de temps [0, t],c’erid-a`-tse   N(t) X   Eϕ(T k ) k=1 P N(t) avec la conventionϕ(T k ) = 0 siN(t.Exp)=0rlarrimesneee´opn k=1 fonction deλdeetegt´inl’edelarϕsur un certain intervalle.

Exercice 2 Onconside`reunechainedeMarkovre´currenteirre´ductiblea`valeursdans Earbmone´duoinfieldeceriatem,de)blnortnaisitnsem(eP. SoitA⊂E. On noteS A tnatne’deimesnirslepr´etranedA: S A = min{n:n≥0, X n ∈A}. c∗ 1) Soiti∈Aetn∈N. ExprimerP i (S A =ntcoifnnoautndnqe´eitesd)e la formeP j (S A =k) pour certainsketjqsautntie´csnoun(etd’autre.)se 2) On noteg i edlaiodelertcira´eeng´ontincfoalS A sousP i -`a-’esteri,dc X n ∀s∈[0,1], g i (s) =sP i (S A =n). n≥0 Montrer que X X c ∀i∈A ,∀s∈[0,1], g i (s) =s P(i, j) +s P(i, j)g j (s). c j∈A j∈A 3) Soitp >1. Onsuppose queE={1,2,∙ ∙ ∙, p} ∪ {Δ},A={Δ}et les P(i, jarsp´enndontslosnounn) pour 1≤i≤p−1, P(i, i+ 1) =ε i ,P(i,Δ) = 1−ε i , P(p,1) = p , P(p,Δ) = 1−ε p , avec 0< ε i <1 pour tout 0≤i≤p. a) Montrer que P p k ε 1 ∙ ∙ ∙ε k−1 (1−ε k )s k=1 ∀s∈[0,1], g 1 (s) =. p 1−ε 1 ∙ ∙ ∙ε p s b)End´eduireP 1 (S A =nappo)(tn´dneleveg 1 .)enti`ereens´erie c) Expliquer, en regardant le graphe de Markov, pourquoi on pouvait trouver lar´eponsesanscalcul.

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