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MAT2412. - Département de mathématiques et de statistique

13 pages
  • cours - matière potentielle : analyse numérique
  • mémoire
MAT2412. Analyse Numérique I. Anne Bourlioux et Robert G. Owens 2 septembre 2011 1 Analyse des erreurs 1.1 Introduction L'analyse numérique se distingue de beaucoup d'autres domaines de mathé- matiques puisque, pour un problème donné, plusieurs méthodes approxima- tives peuvent être proposées pour sa résolution. La précision des résultats obtenus avec ces méthodes ou algorithmes différents peuvent varier forte- ment et est en fonction des approximations utilisées. Ce qui nous intéressera principalement dans ce cours d'analyse numérique, sera l'utilisation de méth- odes pour la résolution de problèmes appliqués sur l'ordinateur ainsi que l'estimation et le contrôle des erreurs provenant de ces méthodes numériques
  • chiffres après la virgule
  • −1023 ×
  • virgule flottante
  • arithmétique en virgule
  • base β
  • précisions
  • précision
  • représentations
  • représentation
  • erreur
  • erreurs
Voir plus Voir moins

utiles
des
Ce
fonctions,
ainsi
euv
cours!)
appro
terp
être
sources
t
ces
meilleures
p
ne
et
et
tro
d'équations
ce
dériv
umérique
directemen
our
p
erreurs
us
des
de
mesure
algorithmes
faudrait
des
bien
arier
tout
donné,
ainsi
des
celles
Ow
trouv
téressera
des
p
les
umérique,
l'utilisation
2
systèmes
osées
manière
distingue
en
résolution.
être
trôle
résultats
v
d'autres
ces
v
umériques.
1
sera
des
distinguer
matiques
des.
ts
les
ert
des
t
mais
un
eut
men
dans
1.1
métho
en
tro
métho
inclueron
ximations
seron
Anne
our
nous
les
tiv
2.
t
olynômes
L'analyse
3.
d'analyse
ximations
en
et
t
tégrales
Bourlioux
résoudre
prop
algébriques,
se
soit
p
e.
septem
rencon
sa
n
de
en
La
ées
con
des
des
eaucoup
pro
obten
enan
2011
de
a
métho
domaines
n
ec
C'est
Rob
qu'on
métho
en
mathé-
de
ou
les
Analyse
métho
diéren
(Il
puisque,
comparer
p
coûts
I.
métho
en
aussi,
our
sûr,
v
on
erreurs
p
forte-
pas
problème
faire
t
ce
G.
Les
est
des
plusieurs
in
fonction
duites
In
analysées
appro
t
des
qui
utilisées.
t
Analyse
p
qui
1.
xima-
er
in
racines
duction
non-linéaires,
principalemen
construire
es
p
dans
d'in
ens
olation,
cours
obtenir
euv
appro
n
aux
n
ées
sera
in
de
T2412.
Numérique
et
bre
b
précision
suit:
de
4.
méth-
les
o
d'équations
des
soit
p
t,
our
d'une
la
itérativ
résolution
Les
de
d'erreurs
problèmes
trées
appliqués
analyse
sur
umérique
l'ordinateur
euv
ainsi
t
que
classi-
l'estimation
comme
et
1
le
MAplus
he
qualité
oin
ph
pliqué,
ce
qui
retien
que
bien
ée
P
un
est
t
dicile
cen
nom
de
ondi
grandes
dèle
dériv
une
des
Une
partie
utilisan
de
les
s'il
etit
en
arrêté
implémen
cette
er
d'erreur
nécessairemen
n
t,
celui
ces
don
la
termes.
viennen
able
par
La
fon
t,
le
blables
c
yp
tac
principal
umérique
solution
calculée
sera
t
ortera
t
con
les
n
de
trop
eurs
n
limite
rendra
v
dév
tion
bien
L'étude
un
yp
coûteuse
le
métho
de
améliorer
L'exemple
délisation.
t
la
série
en
a
eurs
on
de
que
erreurs
.
du
fonction
du
un
problème
plus
calculs
de
ysique.
bien
toujours
qu'elles
ort
erreurs
limitée
très
dèle
on
Ces
ce
d'erreurs.
l'ob
t
inadéquat,
ximation
la
cette
Le
eut
ce
cours.
but
cémen
aussi.
elles
traité
exp
ar
pro
l'analyse
es
tre,
p
souv
c
est
,
umérique
non-n
com-
herc
mo
d'une
cela
est
de
a
son
an
t
l'obten
tation
de
elopp
limite.
plus
de
umériquemen
t
et
e
des
est
sans
thème
certain
dernières.
t
l'analyse
des
umérique.
la
le
eurs
couran
de
est
préserv
d'une
solution.
innie
bre
T
Err
ylor
t
t
d'arr
ne
un
t
Ces
quelques
précision
Exemple
pro
Soit
simplications
une
t
dériv
mo
en
fait
p
An
t
les
.
ph
dénition
se
la
rapp
ée
t
d'habitude,
Si
soien
sur
est
mathématique
d'arrondi,
suite
aux
mo
sem
de
eets
à
t
hires.
e
de
t
erreurs
de
Les
t
hées
est
en
jet
(1)
réalité.
appro
de
n
sa
à
première
dériv
p
p
de
être
le
en
t
Err
de
d'être
com-
la
départ
son
erreurs
que
for-
Err
son
eurs
ysique,
de
érience
tr
d'une
onc
viennen
atur
données
e/discr
Si
étisation
donné
Il
(2)
s'agit
our
des
certain
erreurs
hoix
commises
sur
lorsqu'un
p
pro
mais
cessus
ul.
de
Err
rec
2
tral



f x
0f (x)
f(x+h)¡f(x)
0f (x)= lim :
h!0 h
f(x+h)¡f(x)0f (x)… ;
h
h
†exemple
ersible
ec
deux
)
alors
n
1.1.1
et
que
un
ec
aléatoire
(a
théorème
gr
que
liné
tes
aleur
,
alue
T
u.
ert
utilisera
la
que
et
Existence:
métho
1
v
les
une
moins
v
in
tégrale
alle
A
erreurs
aut
(
Gauss.
exemples
de
v
t
notre
tes:
une
ecteur
ouver
.
de
itérations
de
2
(a
d'une
,
,
le
son
de
une
de
ar
ec
.
initiale
plus
in
existe
2.
v
numérique
zéro
év
de
t
l'in
e
a
.
à
.
eurs
On
),
analytique
Quelques
La
,
quadratures
à
trap
on
on
1.
n
oit
v
h
des
si
En
r
conn
fonction
v
ép
est
Hilb
On
le
20
matrice
de
métho
:
de
o
bissection
et
v
que

exemple
ecteur
fonction.
v
,
dénissons
les
et
matrice
la
P
de
:
Newton
t
v
exemple
une
le
aleur
,
et
Les
v
il
matrice
des
).
au
Inté
erreurs
ation
un
On
aleurs
oudrait
de
aluer
fréquen
umériquemen
dans
l'in
termédiaires
Soit
terv
air
programmation.
e
ce
lgèbr
v
3.
s'attend
:
Err
humaines
umaines
o
zér
une
la
on
prendra
.
v
exemple
,
:
v
On
et
essaie
de
de
les
trouv
èzes
er
des
le
et
zéro
év
,
métho
ensuite
umériquemen
de
a
la
ec
fonction
métho
t
diéren
an
la
résolv
3

K =0
f 2 C[a;b] f(a)f(b) < 0
f (a;b)
⁄x f(x)=exp(x)¡
2 a=0
b=1 x =0:50
Z b
I = f(x)dx
a
a = 0 b = 1 f(x) = …sin…x I
2
A (N£N) (N£1)
b = Ax x (N £ 1)
Axe =b xe =x
TA N£N x=(1;:::;1)
A N £N a = 1=(i+j¡1)ij
Tx=(1;:::;1)nous
réel
tés
mais
La
cela
our
rationnels
,
bres
représen
plupart
ec
unique

:
son
décimale
général,
tels
en
nécessiter
être
en
que
réel
sur
ni
de
si
)
a
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c
généraliser,
que
.
et,
bre
un
tation
erreurs
les
être
ici
p
6
p
p

bi-
les
exactemen
facilemen
eut
eut
nom
système
c
ordinateurs
En
exemple
nom
in
en

v
base
est
d'une
en
eut
bre
nom
eut
P
la
:
est
on
réel
un
ordinateur
que
et
sa
sur
naire,
ottan
trouv
représen
unique
)
tier
t
déterminer.
représen
our
euv
(
eut
eut
qui
ça
d'arrondi
naire,
nom
système
transformé
t
tous

en
être
dire
p
t
bre
v
out
binaire.
hires.
le
décimale.
s'appuie
de
des
(base
la
bre
:
général,
terne
un
structure
nom
et
(
comme
t
(
et
en
,
façon
,

représen
être
tiers)
p
et
bre
v
un
sous
our
dire
.
hires
exemple
faite
exemple
forme
P
Virgule
te
Un
binaire
en
Ceci
T
ordinateur
transformer
un
nom
sur
réel
bre
en
nom
dans
d'un
répresen
tation
bi-
représen
il
la
faut
t,
er
Nécessairemen
tel
.
(uniques)
:
que
exemple
l'en
hires.
est
c
à
de
et
inni
)p
bre
6
nom
,
un
4
1.2
x 2 0 1
x
x=(a a :::a a ;a :::a ) ;n n¡1 1 0 ¡1 ¡m 2
n m
n n¡1 0 ¡1 ¡mx=a £2 +a £2 +:::+a £2+a £2 +a £2 +:::+a £2 :n n¡1 1 0 ¡1 ¡m
1 1 1x=(11;101) =1£2+1£1+1£ +0£ +1£ =(3;625)2 102 4 8
x
a x=(a a :::a a ;a :::a )i n n¡1 1 0 ¡1 ¡m 2
a =0;a =0 n m nn ¡m
n+1 n2 >x‚2
9 8 7 6 5 4x=(1005) =1£2 +1£2 +1£2 +1£2 +1£2 +0£2 +10
3 2 1 01£2 +1£2 +0£2 +1£2 =(1111101101)2
x=(0;8125) =(0;1101)10 2
x
fl fl‚2
(a a :::a a ;a :::a ) ;n n¡1 1 0 ¡1 ¡m fl
nX
ix= a £fl ;i
i=¡m
0•a •fl¡1:i
1 =(0:333333:::)103On
man
BF
hire
est
exemple,
les
,
oin
La

est
qu'un
aleur
est
soustrait
a
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um
représen
en
te.
t
si
en
un
Si
hire
réserv
en
gardé
signe
normaliser
être
v
est
ta-
un
ordre
bits
t
nom
forme
en
ottan
0
ou
la
que
um
p
comme
le
tation
osan
le
à
ts
an
v
t
la
bre
aleur
p
v
est
Le
nom
de
si
présen
existe
la
nom
IEEE
double
la
en
IEEE
un
y
ec
etit
En
adéquate.
suit:
man
erreur
que
(v
est
bits
en
décimale
en
un
ottan
tation
virgule
1
v
normalisée
an
de
signe
ou
et
1.2.1
le
ottan
bre
les
négatif.
nom
pas
virgule
bre
ourrait
c
exp
la
n'imp
suiv
maximale
ul
Sa
ositifs
tisse
un
son
con
la
(3)
de
limité
t
n'insistait
mémoire.
IEEE,
n'est
bit
La
en
est
nom
représen
réel
p
système
est
Puisque
de
P
an

1
le
.
tés
1023
précision
la
sur
double
binaire
our
le
bres
v
t
ordinateur.
grandeur
64
t
minim
d'une
comme
man
MATLAB
Suiv
p19)
tisse.
duit
dit
oir
la
64
(3)
fait
la
et
tation
est
notation
de
te,
système
p
bre
t
de
t
ou
en
représen
ottan
maxim
On
de
oit
son
lorsque
forme
dev
de
le
...
est
utilisés.
ositif
ou
que
sur
c
te
que
Représen
nom
virgule
représen
c
est
bre
L'exp
en
t
même
est
nom
nom
écrire
binaire
ottan
11
p
hires.
les
virgule
osan
En
osait
t
l'on
p
est
dev
aleur
an
et
non-n
.
est
+1
c
man
la
de
ait
t
qui
és,
nom
v
v
minimale

minimale
tation.
évidemmen
pas
aleur
tion
La
on
en
euv
pas
le
1
un
.
du
v
il
maximale
du
.
bre
tation
bre,
la
t
our
décimal,
t

toujours
en
tisse
une
la
ar
virgule
représen
t
bre.
.
représen
a
même
le
en
norme
our
On
aussi
de
tro
ainsi
représen
hires
bres
te
on
Puisque
l'exp
dans
osan
représen
t
tion
et
précision
nalemen
p
t
que
p
nom
ossibles
a
p
an
t
un
seraien
de
tations
p
représen
puissen
plusieurs
être
1
tés
soit
manière
virgule
La
la
tisse
t
an
est
.
la
5
in
x
¾ e¡1023x=(¡1) 2 (1+f);
d (d :::d ) ¡10231 2 12 2=(¡1) 2 £(1+(0;d :::d ) );13 64 2
¾ = d e = (d :::d )1 2 12 2
f =(0;d :::d )13 64 2
¾ = 0 ¾ = 1
e
(0:::0) = 0 (1:::1) = 2047 e2 2
e = (0:::01) = 1 e = (1:::10) =2 2
10 9 112 +2 +:::+2=2 ¡2=2046 e
¡1 ¡52f = d £ 2 + ::: + d £ 213 64
x
(1;0:::0) = 1 (1;1:::1) =2 2
0 ¡1 ¡52 ¡52 ¡161£2 +1£2 +:::+1£2 =2¡2 …2¡2;22£10
x
x = 0:0534
¡1 ¡20:534£10 5:34£10
x
nx=§0;d :::d £10 ;1 k
1•d •9; 0•d •9(i=2;3;:::)1 ireprésen
tronque
p
bre
de
:
l'arrondi
bre
faut
)
les
exp
c
Le
ronquer
a
de
une
c
bits
ellés
l'arrondi.
a
en
exemple
la
é
man
).
4
0
exemple
nom
virgule:
ième
bres
1.2.2
plus
nom
a
nie,
hine
tre
s'appliquen
Dans
elé
est
et
nom
elé
L'autre
décimale):
pro
;
faite
de
a
bre
a
v
hires
t
de
on
)
0
au
retourne
v
p
realmin
dénormalisé
en
et
Les
1
.
l'arrondi.
tables
troncature
après
général,
terv
n'a
etit
tation
arrondir,
bien
bre
qui
sauf
les
ositif
MATLAB
t
cas
ec
soit
ou
soit
en
t
MATLAB
un
réel
ossibilité
est
ottan
arrondir
la
(forme
.
realmax
coupan
tronquer.
tisse
virgule:
la
t
ec
après
v
réserv
après
a
tisse
ec
MATLAB
osan
la
le
c
Si
hire
essaie
table
diviser
ième
par
ec
MATLAB
joute
NaN.
est
plus
:
etit
a
bre
exemple
est
nom
on
realmax
bit
T
au
nom
joute
la
On
représen
.
Le
La
hors
et
mac
En
l'in
un
p
bre
alle
pas
hires
représen
on
binaire
nom
(ou
our
une
plus
tation
que
en
p
dans
t
64
4
de
son
).
(app
ce
app
il
(app
recourir
Inf
à
realmin
troncature,
-Inf
à
v
Etan
un
donné
nom
le
grand
représen
en
la
an
c
bre
réel
normalisé
p
en
te
tre
virgule
idées
forme
mêmes
duit
les
Ceci
10,
bits
et
t
base
en
En
est
résultat.
man
est
dans
considéré
troncature
par
v
MATLAB
virgule
comme
hires
zéro
la
(nom
6
la
Donc,
2046¡1023 ¡52 308realmax =2 £(2¡2 )…1;7977£10 :
1¡1023 ¡308realmin =2 £1…2;2251£10
[¡realmax;realmax]
¡realmin realmin
0
¡1022 ¡52 ¡10742 £2 =2
Ex=§(1;b b :::b b b :::)2 ;1 2 52 53 54
n
b ;b ;:::n+1 n+2
Efl(x)=§(1;b b :::b b )2 :1 2 n¡1 n
(n+1)
5 (n+1)
… =3:14159265:::
fl(…) = 3:1415
fl(…)=3:141628-29
tation
con
similaire,
si
tisse
part
et
et
un
L'erreur
l'on
6
bre
La
enden
te
note
Alors,
oir
par
our
par
commise
en
ec
pr
grande
de
est
Soit
Théorème
an
de
de
tation
b
utilisan
t
en
le
nom
24
relativ
après
est
lorsqu'on
bre
égale
et
donc
tan
donc
est
a
puisse
erreur
n'excède
relativ
Dénition
L'erreur
ou
plus
de
appro
arrondit.
machine
un
par
a
la
une
par
base
la
forme
la
ne
virgule
que
nom
n
isée
l'exp
ordinateur
).
cision
BF
relativ
les
t

l'erreur
virgule
e
c
bre
a
réel
relativ
dénie
existe
nom
b
es
D'une
t
L'erreur
donc
troncature
représen
e
ornée

commettre
v
hine
une
l'on
relativ
qui
e
pas
.
La
erreur
si
une
tronque
.
.
absolue
grandeur
la
l'ordre
Soit
l'on
est
Démonstration
dénie
de
.
nom
ximation
quelconque
Si
y
précision
t
man
représen
et
en
de
pas
troncature.
la
représen
t
ce
dép
en
ornes
t
les
ottan
et
un
ulle
normal-
n'apparaît
en
osan
est
que
bre.
On
base
cas
sur
dans
et
de
erreurs
pages
tien
sur
l'erreur
l'exercice
é
(v
Les
absolues
Dénitions
b
mac
que
e
c
la
hires
hires
après
ec
la
v
virgule,
arrondit
alors
e
tout
l'erreur
nom
p
bre
à
compris
orne
dans
une
la
manière
capacité
à
de
.
la
absolue
mac
par
hine
est
p
satisfait
eut
relativ
être
.
représen
7
1.2.3
⁄x x
⁄ ⁄x¡x ¢x=jx¡x j
⁄¢x=jxj=jx¡x j=jxj(x=0)
fl n
¡n ¡nfl fl =2
x fl
Ex=§(b ;b b :::b b b :::) £fl ;0 1 2 n n+1 n+2 fl
1 • b • fl¡1 0 • b • fl¡1(i = 1;2;3;:::)0 i
E¢x=(0;0000:::b b :::) £fl ;n+1 n+2 fl
E¡n=(0;b b :::) £fl ;n+1 n+2 fl
E¡n•(0;(fl¡1)(fl¡1):::) £fl :fl
E¡n¢x (0;(fl¡1)(fl¡1):::) £flfl
• ;
Ejxj (b ;b b :::b b b :::) £fl0 1 2 n n+1 n+2 fl
E¡n(0;(fl¡1)(fl¡1):::) £flfl
• ;
E(1;00000:::) £flfl
¡n(1;00000:::) £flfl ¡n= =fl :
(1;00000:::)fl
¡nfl =2
n
fl = 10
x
¡nflmac
orne,
v
bre
prendre
nom
est
c
mac
exp
en
t,
tisse
précision
Puisque
des

de
mac
Or,
a
et
réel
pro
représen
ositif
si
hain
t,
sur
appro
le
fait
de
exemple
est
en
au
nom
la
et
par
la
tion
est
nom
table
ec
grand
)
hain
t
hine,
grand
représen
que
(4)
nom
bre
En
représen
ectiv
une
p
la
comme
pro
de
mac
hine
c
une
hine
remarquée
réel
:
1.0
bres
représen
hine)
(
plus
dans
de
pro
man
con
table
Dénition
(utilisan
en
normalisée
hain
osan
IEEE
hine
eps
en
v
représen
bre
que
un
plus
MATLAB
nom
osan
c
plus
le
table
mac
est
table
et
est
que
p
grand
Donc
bre
réel
le
et
général,
nom
Alors,
comme
emen
et
resp
table
On
man
eut
MATLAB
son
c
une
la
ximation
le
la
distance
mac
pro
(en
hine.
c'est
hain
b
est
comme
bre
ci-dessus).
en
(séparation
:
de
En
dénie
1
plus
réel
plus
nom
grande
réels
que
mac
1
Quel
qui
le
p
grand
eut
bre
être
et
représen
tisse

la
a
représen
v
en
ec
hine
64
t
bits
forme
est
IEEE)?
exemple,
l'exp
par
t
Donc,
8
exemple
"
" =
1
e = (01:::1) = 10232
f = 0
⁄ 0 0x =(¡1) £2 £(1;0:::01) ;2
¡52=1+2 :
¡52 ¡16"=2 …2:22£10 "
x = 1¡– < 1
e f 1 1¡–
1: e=(011:::1) =1023; f =(0;00:::0) =0;2 2
¡1 ¡2 ¡521¡– : e=(011:::10) =1022; f =(0;11:::1) =2 +2 +:::+22 2
¡52=1¡2 :
1022¡1023 ¡52 ¡1 ¡52 ¡531¡– =2 £(1+1¡2 )=2 (2¡2 )=1¡2 ;
¡53)– =2
e¡1023x=2 (1+f)
x
µ ¶
"e¡1023 ¡52 e¡1023x+2 £2 =x+2 £"=x 1+ :
1+f
1¡–
µ ¶ µ ¶
¡52 ¡522 2¡53(1¡–) 1+ =(1¡2 ) 1+ =1;
¡52 ¡522¡2 2¡2en
de
alle
nécessairemen
tation
tre
t.
hine
virgule
par
exp
imp
nom
our
nom
te
leurs
d'un
tel
On
que
exacte
ectée
que
et
1.3
v
eut
l'arrondi
le
bres.
en
v
en
t
son
et
représen
érations
la
a
réel
après
plus
erations
arithmétique
suit:
est
propriétés
ositif
ottan
distributivité
déterminer
toujours
talemen
6
en
La
résultat
tion
,
qu'on
que
la
exactemen
des
représen
même,
p
on
hine
à
nom
p
et
virgule
sur
base
séparés
notera
hine
imp
oisins
représen
en
bre
in
ec
si
c
une
la
que
les
grand
l'arithmétique
p
te
m
que
en
arithmétique
donné
les
ottan
n'a
de
en
resp
:
la
P
et
érimen
)
t.
pas
Arithmétique
(
virgule
te
Ce
con
l'addition
en
v
IEEE
table
ose
dire
utilise
alors
dans
les
représen
un
binaire
bres
nom
plus
Quand
tables
p
t
simplier,
mac
tra
etit
aillera
en
partir
que
ce
en
oin
bre
en
ciatif
ottan
mac
en
t
10
ultiplication
on
de
par
bre
ortan
v
est
table
la
dans
tation
et
nom
même
op
mac
v
terv
l'arrondi
On
des
par
hires
et
virgule.
attendu.
déduit
est
représen
n'est
général
ottan
distance
notera
de
op
asso
de
,
en
ceux
ottan
en
comme
tre
l'ordre
pas
et
et
te.
n'est
qu'en
par
mêmes
une
t
distance
pas
de
te
exemple,
virgule
ar
l'arithmétique
etc.
Notez
exemple
exemple
:
9
comme
x
E E+1 ⁄2 •x<2 x
x
⁄ Ex =x+2 ":
1 2
"
2 4 2"
"
fl(x)
x n
x'y =fl(fl(x)+fl(y)); x“y =fl(fl(x)¡fl(y));
x›y =fl(fl(x)£fl(y)); xfly =fl(fl(x)=fl(y)):
n=3
¡2x=1;235;y =8;764£10 ;
x+y =1;32264;
1 ¡1 1 1x'y =fl(0;124£10 +0;876£10 )=fl(0;13276£10 )=0;133£10 =1;33:
' (x'y)'z =
x' (y' z)catifs
grande
relativ
à
e)
nom
donner
a
pro
virgule,
t,
en
les
risquées
c
erreur
2.
op
normalisé
de
à
de
féren
a
très
les
est
de
d'une
après
précision
don
relativ
1.18
mais
dditionner
p
ec
p
de
soustraction).
.
hires
une
hes
On
nom
Alors
1.
système
op
après
y
en
Cep
t
précision
même
grandeur
ottan
la
ération
ordres
le
de
erreur
t
général,
hires
Op
bres
erreur
ortin
une
deux
absolue,
4
etite
A
une
(l'exemple
eut
!
ération
v
Cette
e
par
de
signi-
erreur
c
arrondit
(l'élimination
dire,
c
décimale
bres
c'est
2
ts.
La
.
éviter.
ortin)
érations
la
quelques
dif-
il
1.17
F
F
virgule
son
que
hires
endan
c
données.
4
sur
ec
la
v
ordre
a
du
arrondit
te
on
virgule
Si
arithmétique
décimale):
op
système
résultat
BF,
sur
de
relativ
4
(c.à.d.
(ex
la
exemple,
En
ar
érations
P
1.3.1
e.
10
soustraction
exemple
n=3
122£(333+695)=(122£333)+(122£695)=125416;
3 3 3122›(333'695)=fl(fl(0;122£10 )£fl(fl(0;333£10 )+fl(0;695£10 )))
3 3=fl(0;122£10 £0;103£10 );
6 6=fl(0;12566£10 )=0;126£10 :
3 3(122›333)'(122›695)=fl(fl(fl(0;122£10 )£fl(0;333£10 ))
3 3+fl(fl(0;122£10 )£fl(0;695£10 )));
3 3=fl(fl(0;40626£10 )+fl(0;84790£10 ))
6 6=fl(0;125400£10 )=0;125£10 :
p=0;54617;q =0;54601=)r =p¡q =0;00016:
⁄r = p“q = fl(fl(p)¡
fl(q))=fl(0;5462¡0;5460)=fl(0;0002)=0;0002
⁄jr¡r j j0;00016¡0;0002j
= =0:25;
jrj j0;00016j
25%
4 ¡20;4000£10 '0;1000£10
4 4=fl(0;4000£10 +0;0000001£10 )
4=fl(0;4000001£10 )
4=0;4000£10 :