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Math´ematiquesassist´eesparordinateur Chapitre 7 : Approximation polynomiale
Michael Eisermann
Mat249, DLST L2S4, Anne´ e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Documentmis`ajourle6juillet2009
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Objectifs de ce chapitre Ce chapitre initie aux questions d’approximation d’une fonction continuedonn´eepardespolynoˆmes.Cestunevasteth´eorieque nous n’esquisserons ici que superficiellement. Par rapport `a la norme uniforme, nous e´ tudions l’interpolation de Lagrange, qui est analogue a` l’approximation de Taylor. Dans les deuxcasdesph´enome`nesdenon-convergencesontpossibleset doiventˆetreconnus`atitredavertissement. Fortheureusement,lethe´or`emedeWeierstrassassurequetoute fonction continue f : [ a, b ] R peuteˆtreuniformementapproch´ee pardespolynˆomes P n , de sorte que k f P k 0 pour n → ∞ . Nous e´ nonc¸ ons ici la formulation constructive due a` Bernstein. Algorithmiquement,lanormequadratiquesav`ereplusavantageuse: elleprovientdunproduitscalaireetpermetdescalculstr`esefcaces. Nousmentionnonsicilaricheth´eoriedespolynoˆmesorthogonaux. 2/23
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