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Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Arithmetique des polynomes

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55 pages
Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 3 : Arithmetique des polynomes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/55

  • arithmetique des polynomes

  • mathematiques assistees par ordinateur chapitre

  • localisation des racines complexes

  • unique corps de cardinal pk

  • decomposition des polynomes et des fractions rationnelles

  • corps


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Math´ematiquesassist´eesparordinateur Chapitre3:Arithme´tiquedespolynˆomes
Michael Eisermann
Mat249, DLST L2S4, Anne´ e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis a` jour le 6 juillet 2009
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Objectifs de ce chapitre
Nousallonsdiscuteretapprofondirlarithm´etiquedespolynˆomessur un corps, notamment a` coefficients rationnels, re´ els, complexes.
Afin de proce´ der syste´ matiquement et efficacement, nous introduisons d’abord le vocabulaire ade´ quat (corps et anneaux).
Ensuite on e´ tablira quelques outils fondamentaux, notamment la division euclidienne :S=P Q+Rou`degR <degP, l’algorithme d’Euclide pour calculerpgcd(A, B), l’algorithme d’Euclide-Be´ zout :pgcd(A, B) =AU+BV.
Les applications sont nombreuses ! D´mpositiondespolynˆomesetdesfractionsrationnelles. eco Localisationdesracinesr´eellesdunpolynoˆmere´el(Sturm). Localisation des racines complexes d’un polynoˆ me complexe.
/255
Sommaire
1
2
3
Arithm´etiquedespolynˆomessuruncorps,Euclide,Be´zout Polynomes sur un corps ˆ La division euclidienne Les algorithmes d’Euclide et de Be´ zout
´ Evaluation,racines,de´compositionenfacteursirr´eductibles Fonctionspolynomiales,m´ethodedeHorner,HornerTaylor Multiplicit´eduneracine,r´eductionauxracinessimples D´ecompositiondepolynˆomesenfacteursirre´ductibles
Fractionsrationnelles,e´l´ementssimples,int´egrationsymbolique Le corps des fractions rationnelles D´ecompositiondunefractionenfractionssimples Primitive d’une fraction rationnelle
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§1.
Corps Les nombres rationnels(Q,+,), les nombres re´ els(R,+,), et les nombres complexes(C,+,)´iusetn:juosisentdespropri´et es s va
1
(A1 : associativite´ ) (A2:commutativit´e) (A3:´ele´mentneutre) (A4 : e´ le´ ment oppose) ´
(M1 : associativite´ ) (M2 : commutativite´ ) (M3:´el´entneutre) em (M4:´ele´mentinverse)
(D:distributivit´e)
D´enition(corps)
Uncorps(K,+,)es
a, b, c: (a+b) +c=a+ (b+
a, b, c: (a+b) +c=a+ (b+c) a, b:a+b=b+a 0a +: 0a=a ab:a+b= 0
a, b, c: (ab)c=a(bc) a, b:ab=ba 16= 0a: 1a=a a6= 0b:ab= 1
a, b, c:a(b+c) = (ab) + (ac)
Uncorps(K,+,)est un ensembleKmuni de deux ope´ rations, appele´ es addition+ :K×KKet multiplication:K×KK, verifiant tous les axiomes (A1-4), (M1-4), (D) ci-dessus. ´
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Corps finis Outre les corpsQ,R,Cil existe beaucoup d’autres exemples ! Sur l’ensembleF2={0,1}ueclohxiauqusn:da`ntmennsox´eu´eel + 0 10 1 0 0 1et0 0 0. 1 1 0 1 0 1 Proposition(lecorpsadeux´el´ements) ` (F2,+,)est un corps. De´ monstration.ine´vreseesixmoLesa.sacselsutontra´eumenn´te Alternative : Si l’on interprete0et1comme«vrai»et«faux»alors la ` multiplicationest la conjonction«et»tandis que l’addition+est la disjonction«ou exclusif»usSottce.vasu´dzerofeovemblilaej`a´eta v´eracit´edesaxiomeslorsdevotreintroductiona`lalogique. Alternative:OnpeutreconnaˆıtreF2comme le quotientZ/2Z. Remarque Lescorpsnissontfortementutilise´senal`ebreetencryptographie. g Tout corps fini est de cardinalpkpour un premierpne,tuqmeiproR´ec. §1.1pour tout premierpetk1il existe un unique corps de cardinalpk.5/55
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