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Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Integration numerique

De
47 pages
Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 8 : Integration numerique Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/47

  • majoration d'erreur methodes de simpson

  • majoration d'erreur methode des trapezes

  • proprietes de l'integrale

  • formule d'euler-maclaurin extrapolation de richardson

  • revision de l'integrale de riemann


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Math´ematiquesassist´eesparordinateur Chapitre8:Int´egrationnume´rique
Michael Eisermann
Mat249, DLST L2S4, Anne´ e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis a` jour le 6 juillet 2009
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Motivation et objectifs G´eom´etriquement,linte´graleRabf(x)dx d’une fonction continuef: [a, b]R mesure l’aire entre l’axe des abscisses etf. L’inte´ gration est aussi l’ope´ ration«inverse» a` l d ´ rivation. SiF: [a, b]Rv´erie a e F0f, alorsRabf(x)dx=F(b)F(a). = Dansdesrarescasfavorablesonarrive`aexpliciterune telle fonction F, dite primitive defec.Ctdmeeripeluclaceniatrecresint´egrales. Eng´ene´ralcesttropdur,voireimpossible:laplupartdesfonctions n’admet pas de primitives s’exprimant a` l’aide des fonctions usuelles. Motive´parcetteprobl´ematique,cecourspr´esentequelques m´ethodespourcalculer´munemeuqirent.sareltelldet´egesin Comme toujours, avant de calculer quoi que ce soit, il faut d’abord de´nir.stee´rp´ipsorlepaciinpresrslibate´siup,noitselojbteneuq On commencera donc avec une re´ vision de l’inte´ grale de Riemann. 2/47
Sommaire
1
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4
Linte´graledeRiemann:constructionetpropri´et´es Construction de l’inte´ grale de Riemann Proprie´t´rincipalesdelint´egrale es p Differentiation et inte´ gration ´
M´ethodesnum´eriquesbasiques M´ethodesdesrectangles,majorationderreur Me´ thode des trape` zes, majoration d’erreur Comparaison des me´ thodes basiques
M´ethodesdeNewton-Cotes Me´thodes´el´ementaires,majorationderreur Me´thodescompos´ees,majorationderreur Me´ thodes de Simpson, Boole, Weddle
La me´ thode de Romberg La formule d’Euler-Maclaurin Extrapolation de Richardson La´ethodedeRomberg m
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§1.
Qu’est-ce que l’inte´ grale ? Onveutassocier`af:RReta < b elun nombre re´Rabf,aelpp´e l’inte´ grale defsur[a, b]er,lvl´seeri:antquelquesexigencesnatu Constantes :Rbaλ= (ba)λpour toutλR Subdivision :Rcaf=Rbaf+Rbcfpour touta < b < c Monotonie :RbafRabgsif(x)g(x)poura < x < b
1
Decesaxiomesd´ecoulenttouteslespropri´ete´sdelint´egrale!
Toutdabord,ilsd´enissentlint´egralepourtoutefonctionenescalier:
Puistouts´etendauxautresfonctionsint´egrablesparencadrement.
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