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Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Methodes iteratives

De
48 pages
Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 6 : Methodes iteratives Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/48

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  • point fixe

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  • approximation de racines d'apres newton–heron


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Math´ematiquesassist´eesparordinateur Chapitre6:Me´thodesit´eratives
Michael Eisermann
Mat249,DLSTL2S4,Ann´ee2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 `
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Objectifs de ce chapitre
Lite´rationestunetechniqueomnipr´esentecarsoupleetpuissante: On part d’une approximationunseniuqer.troptpassi`egros On construit une meilleure approximationun+1=f(un). Ceproc´ede´estit´er´edanslespoirdeconvergerversunesolution.
Biensuˆr,lare´ussitedeceproce´d´ed´ependfortementdelafonction a`it´ereretdupointdede´part.Cecime´riteune´etuded´etaille´e!
Ce chapitre presente d’abord des exemples et un vocabulaire ´ ade´ quat. Ensuite nous e´ tablissons deux re´ sultats fondamentaux :
1snoitnocfseltcnos.ctrateaneLhte´ronachpour`emedeBa 2blLesr´ievaam.cnofselre´dsnoiteNedodthounptoew
Cesontdesme´thodestr`espuissantes.Pourbienlesappliquer il faut comprendre les crite` res garantissant leur convergence. Cecoursœuvrepourrendrelesr´esultatsmath´ematiquesexplicites, pratiques,efficaces, pour qu’ils soient«erret-`a-programmp». ˆ
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Sommaire
1
2
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Systemes dynamiques et points fixes ` Suites iteratives, convergence, points fixes ´ Approximation de racines d’apre` s Newton H ´ – eron Instabilit´um´erique:leffetpapillon e n Dynamique locale autour d’un point fixe
Leth´eor`emedupointxedeBanach Fonctions contractantes Le the´ oreme du point fixe de Banach ` De´monstrationduth´eoreme ` Avertissements et ge´ ne´ ralisations
Lam´ethodedeNewton Points fixes super-attractifs Lid´eeetlaformuledeNewton Fonctions convexes et convergence monotone Crit`eresdeconvergence,bassindattraction
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§1.
Convergence d’une suite nume´ rique (rappel) La notion de convergence sera fondamentale dans toute la suite.
1
D´enition(convergence)
Unesuite(un)nNdansRest une applicationNR,n7→un. La suite(un)nNdansRconvergevers`Rsi pour toutε >0 il existeNNtel que pour toutnNon ait|un`| ≤ε.
Exemple
Pour|k|<1goeiuetiruq´mteelasknconverge vers0. ´
Exemple
Soitu0= 0puisun+1=9+10unpour toutnN. u0= 0, u1= 0.9, u2= 0.99, u3= 0.999, u4= 0.9999 . ., .
Cette suite converge vers1, car|un1|= (011)n0. (Exercice)
Ici onerit`ela fonctionf:RRdonne´ e parf(x) =9+10x. La limite1est unpoint fixecarf(1) = 1et il s’ave` reattractif.
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