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Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Methodes iteratives

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233 pages
Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 6 : Methodes iteratives Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009

  • theoreme du point fixe de banach

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  • point fixe

  • approximation de racines d'apres newton–heron


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Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 6 : Méthodes itératives
Michael Eisermann
Mat249, DLST L2S4, Année 20082009 wwwfourier.ujfgrenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis à jour le 6 juillet 2009
Sommaire
1
2
3
Systèmes dynamiques et points fixes
Le théorème du point fixe de Banach
La méthode de Newton
Sommaire
1
2
3
Systèmes dynamiques et points fixes Suites itératives, convergence, points fixes Approximation de racines d’après Newton–Héron Instabilité numérique : l’effet papillon Dynamique locale autour d’un point fixe
Le théorème du point fixe de Banach
La méthode de Newton
Convergence d’une suite numérique (rappel) La notion de convergence sera fondamentale dans toute la suite.
Convergence d’une suite numérique (rappel) La notion de convergence sera fondamentale dans toute la suite. Définition (convergence) Unesuite(un)nNdansRest une applicationNR,n7→un.
Convergence d’une suite numérique (rappel) La notion de convergence sera fondamentale dans toute la suite. Définition (convergence) Unesuite(un)nNdansRest une applicationNR,n7→un. La suite(un)nNdansRconvergeversRsi pour toutε >0 il existeNNtel que pour toutnNon ait|un| ≤ε.
Convergence d’une suite numérique (rappel) La notion de convergence sera fondamentale dans toute la suite. Définition (convergence) Unesuite(un)nNdansRest une applicationNR,n7→un. La suite(un)nNdansRconvergeversRsi pour toutε >0 il existeNNtel que pour toutnNon ait|un| ≤ε.
Exemple n Pour|k|<1la suite géométriquekconverge vers0.
Convergence d’une suite numérique (rappel)
La notion de convergence sera fondamentale dans toute la suite. Définition (convergence) Unesuite(un)nNdansRest une applicationNR,n7→un. La suite(un)nNdansRconvergeversRsi pour toutε >0 il existeNNtel que pour toutnNon ait|un| ≤ε.
Exemple n Pour|k|<1la suite géométriquekconverge vers0.
Exemple 9+un Soitu0= 0puisun+1=pour toutnN. 10
Convergence d’une suite numérique (rappel)
La notion de convergence sera fondamentale dans toute la suite. Définition (convergence) Unesuite(un)nNdansRest une applicationNR,n7→un. La suite(un)nNdansRconvergeversRsi pour toutε >0 il existeNNtel que pour toutnNon ait|un| ≤ε.
Exemple n Pour|k|<1la suite géométriquekconverge vers0.
Exemple 9+un Soitu0= 0puisun+1=pour toutnN. 10 u0= 0, u1= 0.9, u2= 0.99, u3= 0.999,
u4= 0.9999,
. . .
Convergence d’une suite numérique (rappel)
La notion de convergence sera fondamentale dans toute la suite. Définition (convergence) Unesuite(un)nNdansRest une applicationNR,n7→un. La suite(un)nNdansRconvergeversRsi pour toutε >0 il existeNNtel que pour toutnNon ait|un| ≤ε.
Exemple n Pour|k|<1la suite géométriquekconverge vers0.
Exemple 9+un Soitu0= 0puisun+1=pour toutnN. 10 u0= 0, u1= 0.9, u2= 0.99, u3= 0.999, u4= 0.9999, . . . 1n Cette suite converge vers1, car|un1|)= ( 0. (Exercice) 10
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