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Mosa¨ıques,enveloppesconvexesetmod`ele Bool´een:quelquesproprie´t´eset rapprochements
Documentdesynthe`se pre´sent´epar Pierre CALKA
en vue de l’obtention de lhabilitationa`dirigerdesrecherches Specialit´e:Mathe´matiques ´
soutenuele10d´ecembre2009
Composition du jury : Bartek BLASZCZYSZYNcerirueteredrehcDuS´preeiru)eche(EcoleNormale Thierry BODINEAUeredruet(ehcrehcecirDru)ereei,eNorEcolSup´maleRapporteur Youri DAVYDOVUnr(erivferoeussPel)1,is´tLeliRapporteur Nathana¨elENRIQUEZePt´sierivUnr(eusseforP)tuOserasi Anne ESTRADEeeurrs(iUfnesisvaPrirsot´ePraeteDcs)s Andre´GOLDMANPeussferorevinU(royLe´tisn1) Volker SCHMIDTitrsd´em,UlleAlngam,)erPfoseesruU(inevRapporteur
Remerciements
Jetienstoutdaborda`remercierAndr´eGoldmanquimainitie´audomainedela g´eom´etrieale´atoire.Ilmafaitpartagersagrandeimaginationetsonsensdesbelles mathe´matiques.Asoncontact,jaiappris`acherchereta`lefaireavecplaisir.Sapr´esence danscejurymetoucheparticuli`erement. Thierry Bodineau, Youri Davydov et Volker Schmidt m’ont fait l’honneur d’accepter derapportersurceme´moire.Jeleursuisextreˆmementreconnaissantdusoinquilsyont mis. BartekBlaszczyszynetNathana¨elEnriquezonttoutemagratitudepouravoirbien voulufairepartiedujury.Leurinte´rˆetpourmontravailmhonore. Lapr´esencedAnneEstradedanslejurymefaitparticulie`rementplaisir.Jetiens`a laremercierpourlefortsoutienquellemaapport´edepuissonarrive´eaulaboratoire MAP5jusqu`alapre´parationdecettehabilitationainsiquepourtouteslesdiscussions int´eressantesquenousavonspuavoir. Je remercie chaleureusement tous mes collaborateurs au contact desquels j’ai beau-ppris:And´Goldman,HenkHilhorst,Andr´eM´ezin,JulienMichel,KatyParoux, coup a re SylvainPorret-Blanc,Gre´gorySchehr,TomaszSchreiber,PierreValloisetJoeYukich. Sanseux,ceme´moirenexisteraitpasetjesuispleinementconscientdetoutcequeje doisa`chacun.JesuisparailleursextrˆemementreconnaissantenversWilfridKendallet IlyaMolchanovdemavoiraccord´eleurconancepourlare´dactiondunchapitredelivre. JeremercietousceuxquifontdulaboratoireMAP5etdelUFRdeMath´ematiques etInformatiqueuncadredetravailaussiagre´able.Jepense`aBernardYcart,Christine GragneetAnnieRaoultquiontsuccessivementdirige´lelaboratoireetjeciteraiaussi notamment les membres des projets ANRmipomodimobpra-depeuieq´el,dIMATAMte bilit´es,lespersonnesaveclesquellesjaitravaill´eenenseignementsansoubliertousmes voisinsducouloirH409.Jaimeraisajouterunmercitoutparticulier`aceuxquimontap-porteleurssoutienetamiti´edepuismonarrive´eauMAP5etdontlaideae´te´d´eterminante ´ pendantlapr´eparationdecettehabilitation:jepensea`mescoll`eguesdebureau,Antoine ChambazetServaneGey,a`ValentineGenon-CatalotetFabienneComte. Mercienn`amafamilleetprochespourleursoutienpermanent.
Tabledesmatie`res
Introduction 6 1Mosa¨ıquesal´eatoires11 1.1Nombredecˆote´sdesz´ero-cellules.......................13 1.1.1 Lois explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2Cellules`agrandnombredecoˆte´setphysiquestatistique......15 1.2Formedesze´ro-cellules,´etudeasymptotiquea`grandrayoninscrit.....20 1.2.1 Fonction spectrale de la cellule typique de Poisson-Voronoi . . . . . 20 1.2.2Loidurayoncirconscritetcons´equences...............22 1.2.3Th´eor`emeslimitespourlenombredhyperfacesetlevolume....24 1.2.4Frontie`redelacellule:changementde´chellelocaletglobal,valeurs extreˆmes.................................26 2Enveloppesconvexesal´eatoiresdanslaboule-unit´e28 2.1Grandesde´viationspourlenombredesommetsdunpolytopeale´atoire danslaboule-unit´e...............................29 2.2Frontie`redespolytopesal´eatoiresisotropesdanslaboule-unite´:conver-gencesparchangementsde´chellelocaletglobal,valeursextrˆemes.....31 3Lemod`eleBool´eenetautresmodelesderecouvrement36 ` 3.1Mode`leRSAapplique´a`unprobl`emedessuration.............36 3.2 Raffinement de la convergence vers la cellule de Crofton . . . . . . . . . . . 39 3.3Fonctiondevisibilite´:distributionetasymptotiques............42 Perspectives 47 Liste des publications 52 Bibliographie 54
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Introduction
Lag´eome´trieal´eatoiretrouvesesoriginesdansunjeudehasardinvent´eparleComtede Buonen1733:leprobl`emeconnusouslenomdaiguilledeBuonconsiste`ad´eterminer mosaıqu gu laprobabilit´equunobjetjete´ausolsurune¨er´eli`ererencontrelunedes areˆtesdecettemosaı¨que.Pourre´soudreceproble`me,Buonutiliseuncalculinte´gral, vraisemblablementpourlapremie`refoisenprobabilit´es.Ilobtientuneformuleou`apparaˆıt le nombreπteapcrno´sqeeutnunmoyensimpledeuofnrinrvenuuelapprachroe.´eDe nombreusesautresquestionsfaisantintervenirlesprobabilite´setlage´om´etriee´l´ementaire autourdexp´eriencesimaginairessimplesonte´te´envisage´esdepuisledix-neuvi`emesie`cle etcelaaconduitaud´eveloppementdudomainedelage´ome´trieinte´gralepuisdela ´ ´trie stochastique (terme introduit par D. G. Kendall, K. Krickeberg et R. E. Miles en geome 1969).Parall`element,de`slasecondepartieduvingtie`mesi`ecle,l´etudedevraismat´eriaux provenantdelage´ologie,labiologieoulam´edecineane´cessite´lutilisationdemode`les issusdelageome´trieale´atoireetanaturellementsoulev´eungrandnombredequestions ´ the´oriques,parexemplepourtoutcequitourneautourdelast´ere´ologie.Denosjours,la ge´ome´trieale´atoireestunebranchereconnuedesprobabilit´esetdesdomainestelsquela statistiquespatiale,lanalysedimages,laphysiquedesmat´eriaux,lame´decineetmeˆme lananceyontr´egulie`rementrecours.Lesmod`elesintroduitssontporteursdenombreux pbl`smotivantspourlesmath´ematiciens,o`ulintuitionge´ome´triqueseheurtebien ro eme souventa`ladicult´edemenerauboutdescalculsexplicites. Danscememoire,troisobjetsde´tudesontenvisage´s: ´ Le¨ıquesal´eatoires – s mosa ; lesenveloppesconvexesal´eatoires; lemode`leBoole´en,ditdepercolationcontinue. Ilsagitdetroismod`elesquisontaujourdhuiparmilesplusclassiquesdelag´eome´trie al´eatoireeuclidienne.Danscequisuit,unepartieseraconsacre´ea`chacundentreeux. Lesmosaı¨quessontdespartitionsdelespaceencellules,quisontdanslecasdune ¨exe,despoly`edresconvexes.Ellesinterviennentnaturellementdansdenom-mosaıque conv breuxdomainesdapplication,telsquelastrophysique,leste´l´ecommunications,labiologie mole´culaireetlabiologiecellulaire.En1644,R.Descartesavaitparexempleintroduitdans
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