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NoteauxC.R.Acad.Sci.Paris(acceptee) Algebra /rbeelgA
Koszul Duality for PROPs
1 Bruno Vallette
Abstract The notion of PROP models the operations with multiple inputs and multiple outputs, acting on some algebraic structures like the bialgebras or the Lie bialgebras. We prove a Koszul duality theory for PROPs generalizing the one for associative algebras and for operads. Resume DualitedeKoszuldesPROPs.rseupasisularenoitdlePOomseposileLanodePRtion entreesetplusieurssorties,agissantsurcertainesstructuresalgebriquescommelesbigebresetles bigebresdeLie.NousmontronsunetheoriededualitedeKoszulpourlesPROPsquigeneralise celledesalgebresassociativesetdesoperades.
Versionfrancaiseabregee.
Ontravaillesuruncorpsdecaracteristiquenulle.
Suivant J.-P. Serre dans [S], on regroupe sous le terme deerbeg iductrretuenersstebrelgsasueiq commelesalgebres,lescogebresetlesbigebres.
L’ensembleP(m, ntaresnoiade)psoneesetertnmsorties agissant sur un certain type de gebresestunmoduleagauchesurlegroupesymetriqueSmet a droite surSn. Cesdeux actions sont compatibles. On appelleS-bimoduletoute collection (P(m, n))m, nNesdis nesulou.Ntelemsdosnosd  un produitiedeegorcatnslaadsStaoisnauqrilusemidob-omscleteenesreprepodsnoitisop plusieursentreesetplusieurssorties.Ceproduitestbasesurlesgraphesdiriges(cf.Figure 1).
 On de nitunPROPcomme unS-bimodule muni d’une compositionPPP →associative. On donne les exemples du PROPBiLie(eiLesdreebgbiesdcf.[D]), du PROPBiLie0des bigebresdeLiecombinatoires(cf.[C]) et du PROPInfBisbde nitesimalesgierbseedoHfpni (cf.appelle[A]). OnPebre-g, tout module sur le PROPPruevselgeterbosed ensietsidonO.rn classiques. Parexemple, uneBiLieg-nemetcaxetseerbeebredeLitunebig.e
Nousetendonslesde nitionsdebaretcobarconstructionsdesalgebresetdesoperadesaux PROPs,etnousgeneralisonsleslemmesdecomparaisondeB.Fresse[F]auxPROPs.Remarquons quelesdemonstrationsoperadiquesnesontpasreconductiblesici,carcesdernieresreposentsur lesproprietescombinatoiresdesarbres.
1 InstitutdeRechercheMathematiqueAvancee,UniversiteLouisPasteuretCNRS,7,RueReneDescartes,67084 Strasbourg Cedex, France. E-mail :vallette@math.u-strasbg.fr URL :http://www-irma.u-strasbg.fr/vallette 1
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