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Notes sur les ensembles et applications
2 septembre 2010
I Ensembles
1. Qu’est-ce qu’un ensemble ? Exemples « Dieucre´alesentiersnaturels,leresteestloeuvredelHomme. »
Leopold Kronecker Nousnede´nironspascequestunensemble:cestunebriquedebase.Ilestplusimportantdeconnaˆıtreles « r`egles » `aemployerpourmanipulerdesensembles.Malgre´cettemise-en-gardedeprincipe,une « de´nition intuitive » d’un ensemble est la suivante. De´nition1 Un ensemble E estunecollectiondobjets(depr´ef´erence)mathe´ma-tiques. Un objet x est un ´ele´ment d’un ensemble E si x appartient`a E. Autrement dit : x figure dans la collection E. Si x estune´le´mentde E, on note x E. Ce qui se lit « x appartient`a E » . Si x nestpasune´le´mentde E , on note x 6∈ E. Ce qui se lit « x nappartientpasa` E » .
Principe d’extension Ce principe est fondamental. Le principe d’extension est le suivant : Un ensemble E estenti`erementd´ecritparsese´l´ements. De ¸ agee, on pourrait paraphraser ce principe en disant : facon im ´ Dites-moi ce qu’est le contenu, je vous dirai ce qu’est le contenant. Remarque : Lorsquelonpeutenumererlese´le´mentsdunensemble E, onde´criralensembleenextension. ´ ´ Par exemple, 1. E = { 1 , 2 , 3 } de´signelensembledontles´el´ementssontlesentiers 1 , 2 et 3 . 2. L’ensemble A constitu´edeslettresdelalphabetse´crit: A = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z } .
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