PC 1 – Cours de physique - mécanique quantique – Xavier Blase

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PC 1 – Cours de physique - mécanique quantique – Xavier Blase

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• Langue: Français

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PC1–Coursdephysiqueme´caniquequantique–XavierBlase

Relationsd’incertitudeenm´ecaniquequantique.anitnos)´dtereimontauatelsrLeind’nsiodutitrecni’duo(e coeurdelam´ecaniquequantique.Nousallonslesde´montrer`apartirdesrelationsdecommutationentreope´rateurs, centralesellesaussienMQ,etende´duirequelquescons´equencesconcernantlastabilit´edelamatie`re.

2 2 ˆ ˆ 2 2 1) Pour une observable A, on note:a=hAi=hψ|A|ψi,hAi=hψ|A|ψiet Δa=hAi − hAi.e´artnalnEocsndi ′ ′′ ′ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ normeaucarr´eduvecteur(A+iλB)|ψi(|ψinqcoelqu,sie´mrlaeuonλ´rteeleA=A− hAi, idem pourBrtremeno),d´ que pour deux observables A et B:

ˆ ˆ ΔaΔb≥ |hψ|[A, B]|ψi|/2 2) Montrer que:ΔxΔp x ≥~/uetq´el’ligaeet´tststcirlisete´’tae2|ψiest gaussien (on parle de paquet d’onde minimum). ˆ ˆ 3) Que dire des vecteurs propres deAetB?)´eegd´ones´eern´erededarcno(isnoopprsnrealsvrseuommutentsiilsc 2 2 2 4)´seearil.statiommuen´eong´aleRcedsnoitocsnnOvariabler=e´rnelle)r(faled`eidunreonefioctx+y+z. Montrer les relations de commutation suivantes:   2 ˆxˆx ′ ′ [pˆ x , f(rˆ)] =−i~f(rˆ) et: [pˆ x ,ˆxf(rˆ)] =−i~f(rˆ) +f(rˆ) rˆrˆ ˆ 5)Onconside`rel’op´erateurA x =pˆ x +iλˆxf(r),o`uˆλesree´le.utnnmorb ˆ •cale´errlccaeruledealedmronA x |ψi,|ψiquenlconque.eil´sroam 2 22′ ˆ ˆ •Ajouter les relations correspondantes pourA y etA z ;ne´ddeuireunein´egalitere´nailthpi,hr fi,hfiethrfi. 2 6)Enconside´rantleschoixf=1,f=1/retf=1/rs:ivsuteannome´d,srleertrnsioatel

2 22 22 22 22 hpihri ≥9~/4 et:hpi ≥~h1/riet:hpi ≥~h1/ri/4 7)tSba.er`etimalade´eitilenueriude´dnEreig´’nea(l)oprueure´erieinfborn`eogetne)(bledeota’’demrdyh l’e´nergiedel’oscillateurharmoniqueisotrope.