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Physique NYB

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1 Physique NYB Plan du chapitre 4 Travail, énergie potentielle électrique. Potentiel électrique. Conservation de l'énergie. 1) Travail et énergie potentielle de deux charges ponctuelles. a) Travail infinitésimal dW=F ds cos  b) Composante radiale Fr= 2r qQk et 2r kQEr  . c) Travail quelconque pour une force radiale : dW = Fr dr  W1 2 =  21rr r drF d) Énergie potentielle U=-W e) Propriété : la force électrique est conservative.
  • ij ji
  • f
  • u u
  •  
  • r1 r2
  • énergie potentielle
  • énergies potentielles
  • energie potentielle
  • force
  • calculs
  • calcul
  • charge
  • charges
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Physique NYB
Plan du chapitre 4
Travail, énergie potentielle électrique.
Potentiel électrique.
Conservation de l’énergie.

1) Travail et énergie potentielle de deux charges ponctuelles.
a) Travail infinitésimal dW=F ds cos 
kQqQ
b) Composante radiale F = k et E  . r r2 2r r
r 2
c) Travail quelconque pour une force radiale : dW = F dr  W = F dr r 1 2 r r 1
d) Énergie potentielle U=-W
e) Propriété : la force électrique est conservative.

x2r 2
2) Différence de potentiel électrique. V (r ) – V (r ) =  E dr ; V(x ) –V(x ) =  E dx 2 1 2 1r xr 1 x1

N Qi3) Potentiel produit en P par un système de charges V = k . P 
ri 1 ip

Énergie potentielle d’une charge q située en P : U = q V P

N Q Qi j4) Énergie potentielle d’un système de charges U= k .  ri  j ij

5) Mouvement de charges dans un potentiel et conservation de l’énergie. K+q V=W ext

6) Lignes et surfaces équipotentielles.

7) Potentiel à la surface et à l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre électrostatique.

8) Résumé et applications.

a) Calcul du potentiel d’un système de charges.
b) Calcul de l’énergie potentielle d’une charge q dans le potentiel
d’un système de charges Q , Q , Q ,… 1 2 3
c) Calcul de l’énergie potentielle d’un système de charges Q , Q , Q ,…. 1 2 3
d) Mouvement de charges dans un potentiel.
e) Calcul de la différence de potentiel et du potentiel à partir du champ.
dV dV
f) Calcul du champ à partir du potentiel. E =  ; E =  r x
dr dx
1 Chapitre 4
Travail, énergie potentielle électrique, potentiel électrique, conservation de l’énergie.

1. Travail et énergie potentielle de deux charges
ponctuelles Figure 1
y a. Travail dW de la force électrique sur un
déplacement ds très petit (infinitésimal) 2
Travail W sur un déplacement quelconque.
y q2
Une charge q de déplace sous l’action de plusieurs

forces dont la force électrique F exercée par une
charge Q. On veut calculer le travail de cette force
entre les points 1 et 2 (voir figure 1). r2
 Le travail d’une force constante est défini comme le
ds  
1 produit scalaire de la force F par le déplacement s :  y1 q W  F  s  Fscos 
 est l’angle entre la force et le déplacement. r1 Q Comme la force électrique est variable, on doit,
x pour appliquer la formule précédente, découper le
x x2 1 déplacement en un très grand nombre de petits 
dséléments ; sur un de ces éléments, on peut
considérer la force comme constante et calculer le travail dW par :
 
dW  F  ds  F ds cos  (Forme polaire du produit

Figure 2 F scalaire) 
Sur la figure 2, on a grossi le déplacement ds . Celui-ci étant
très petit, on peut le considérer comme rectiligne.
 

ds
r2   
F
q

Q

On peut aussi exprimer le travail dW dans sa forme cartésienne
en utilisant les composantes cartésiennes dx et dy du vecteur
Fy ds et les composantes cartésiennes F et F de la force x yF
 (voir figure 3) : dy ds     Fx r2 F  F i  F j et ds  dxi  dyj x ydx
x
dW  F dx  F dy (Forme cartésienne) x y
Figure 3


Travail quelconque: pour aller du point 1 au point 2, le travail serait :
x y2 2
W  F dx  F dy Où x , y , x , y sont les coordonnées des points 1 et 2. 1 1 2 21 2 x y x y1 1
Sous cette forme, le calcul du travail nécessite une intégrale en deux dimensions (x et y), ce qui peut être
compliqué. On s’arrangera toujours pour avoir à calculer une intégrale à une dimension.
2 
b. Composante radiale de F et de E .
Dans les cas à symétrie sphérique et

L’axe radial r est toujours centré sur la charge qui Figure 4 cylindrique, la force F est toujours selon
exerce la force et dirigé vers la charge qui subit la force.
une direction radiale, alors il est plus simple L’axe est donc toujours sortant.
de considérer la composante radiale F de la r 
force : on a alors F  F u . r Q u F n’a qu’une composante en r (voir figure u
q kQqF F 4) et : (équation 1) r 2rr
r Attention : dans cette définition les charges apparaissent en valeur
F
algébrique et non plus en valeur absolue comme auparavant.

q r
r 
u F Q r

u

Fq


r

On définit aussi la composante radiale du champ électrique en P qui est un point d’observation.
 
E  E u r
kQ
Avec : E  (équation 2) r 2r

Figure 5  Q P u u 
r Er
P P r
E P r P
r
E 
 uE P P u
P
Qr
3 c. Travail quelconque fini pour une force radiale.
On peut écrire le travail dW en termes de la composante radiale :

Le petit déplacement ds est décomposé en ses
 
composantes radiale ds et tangentielle ds (voir figure r t
Figure 6
2) 
Arc de cercle de rayon r F
  dr      
 dW  F  ds  F  ds  F  ds Car ds  ds  ds t r t rdsr    or F  ds  F  ds  Fds cos90  0 2   t t t
  ds dW  F  ds  F drDonc : r r r rds 2 t   
F    
Car F  F u et ds  dr u u q r r
r
Q Cette expression va simplifier le calcul du travail.
Le travail de la force électrique (cas radial) dans le
déplacement de 1 à 2 est la somme de tous les travaux
dW entre les deux points considérés (voir figure 7).

Cette somme s’obtient par une intégrale :

Figure 7 F
q
r2
W  F dr (équation3) 1 2 rr1
r2 
Q F
r1 q
Dans le cas d’une charge ponctuelle ou un cas à symétrie sphérique, le calcul est simple :
r21
r kqQ r  kqQ kqQ 2
 W  dr  kqQ    (Équation 4) 1 2  2  r1 r 1 r r 2 1 r1
d. Travail quelconque pour une force à symétrie plane
Dans les cas à symétrie plane la force est toujours parallèle à une
Figure 8
direction particulière x, y ou z.
 Alors le travail de la force se calcule par une équation analogue à q F
l’équation 3 :
q Pour une force parallèle à x :
x2 W  F dx (équation 5) 1 2  xF x1
x x1 2 Avec des expressions analogues pour des forces parallèles à y ou z.

Dans la figure 8, on n’a pas représenté les charges qui produisent la force sur q. Elles pourraient être dues à une
distribution volumique de charge  de longueur L dans la quelle la charge q se déplace.
On peut montrer que la force subie par une charge q est :

F  q 2x  L  x
2 0Milieu de densité électrique
uniforme  La force ne dépend que de x
4 x
0 L e. Variation d’énergie potentielle électrique U et Énergie potentielle électrique U.
Définitions :
(i) Variation infinitésimale (= très petite variation qui tend vers zéro) d’énergie potentielle :
dU= - dW
(ii) Variation quelconque d’énergie potentielle :
U  U(r ) U(r )  W (Équation 6) 2 1 1 2

Remarque: l’explication du signe – est donnée plus bas dans cette section. Une interprétation physique de l’énergie potentielle est donnée dans la section 5.

Cas particulier radial: la variation d’énergie potentielle de la charge q quand elle se déplace du point 1 au
point 2 (voir figure 1) est donnée(en utilisant les équations 4 et 6) par :
 kqQ kqQ 
 U  U(r ) U(r )  W   (Équation 7) 2 1 1 2  r r2 1 

Énergie potentielle U
C’est la variation d’énergie potentielle U qui a un sens physique intrinsèque, c'est-à-dire indépendant de toute
convention. Mais pour des raisons pratiques dans le but de faciliter les calculs, on veut donner un sens à
l’énergie potentielle U. Pour cela, on doit choisir arbitrairement une « énergie de référence », c'est-à-dire un
endroit où l’énergie potentielle a une valeur donnée prévue à l’avance. Souvent, on va choisir que l’énergie
potentielle est nulle à l’infini :U( )  0 . Attention : ce choix n’est pas toujours possible comme on le verra
plus loin.
Dans le cas de deux charges ponctuelles, ce choix est possible :
Posons :
r   Avec U( )  01
Et r  r 2
kqQ kqQ 
L’équation 6 devient : U(r) U( )     
r  
kqQ
U(r)  (Équation 8)
r
L’unité d’énergie est la même que celle de travail : le Joule (1J = 1N.m).

5
Explication du signe – dans la définition de U
Figure 9 Évolution spontanée ou forcée d’un système
Soit une charge positive Q fixe et une charge q positive pouvant se
U déplacer.
La figure 9 représente l’énergie potentielle de ces deux charges en
Spontanée
fonction de la distance r; la charge q va spontanément s’éloigner de
Q (deux charges positives se repoussent), ce faisant l’énergie
Forcée potentielle va diminuer spontanément. Ceci est toujours vrai, et on
peut énoncer le principe de l’énergie minimum : « un système a
r tendance spontanément à diminuer son énergie potentielle ».
Q
q Évidemment, on peut forcer le système à augmenter son énergie en
rapprochant les charges à l’aide d’une force extérieure (tension,
poussée ou autre).
Si on avait mis un signe + dans la définition de U (équation 6), la
courbe de la figure 9 serait inversée et on serait arrivé à la conclusion
opposée: un système aurait eu tendance à maximiser son énergie, ce
Figure 10
qui contredit le principe précédemment énoncé. U
La figure 10 illustre un phénomène analogue à celui de la figure 9
mais avec q négative; q est attirée par Q et la tendance est encore à r
une minimisation spontanée de l’énergie potentielle.
Spontanée En conclusion :
U < 0 : évolution spontanée d’un système
Forcée U > 0 on forcée d’un système

Une autre façon d’exprimer les deux propositions ci-dessus est :
La force électrique est toujours dirigée vers les petites énergies q
Q potentielles


ATTENTION : Dans le cas de systèmes plus complexes, une diminution globale d’énergie potentielle ne
signifie toutefois pas que le système va évoluer directement vers l’état final. Dans le cas de la figure 10b, il faut
que le système franchisse une « barrière de potentiel » pour accéder à l’état final de plus basse énergie.
Le système initialement en A doit acquérir l’énergie Ea (énergie
Figure 10b d’activation) pour accéder à l’état final B. U
Ea r
U A
B
6 f. Propriété : la force électrique est une force conservative.
Rappel : une force conservative est une force dont le travail ne dépend pas du chemin suivi entre deux
points.

En examinant l’équation 4 on s’aperçoit que le travail de la force électrique ne dépend que du point final
et du point initial et pas du chemin suivi entre les points 1 et 2.
La figure 11 illustre ce fait : le travail selon les trois
Figure 11 trajets (i), (ii) et (iii) est le même puisque les trois trajets
( ii ) 2 ont le même point de départ (1) et le même point
d’arrivée (2).
( iii )
r 2 ( i )
W   U(r ) U(r )  par n’importe quel trajet. q 1 2 2 1
Note: la notion même d’énergie potentielle n’a de sens que si la force associée est
1 conservative. En effet, si la force est non-conservative, le travail peut prendre
r n’importe quelle valeur entre deux points et donc l’énergie potentielle n’est pas 1 Q définie. Voir le chapitre 8 du cours de mécanique.


2. Différence de potentiel électrique V et potentiel électrique V.
En électricité, on préfère souvent parler de potentiel que d’énergie potentielle. Le potentiel est l’énergie
potentielle par unité de charge; l’unité est donc le Joule par Coulomb = 1 Volt (1 J/C=1V).
Définitions :
dU  dW  F drr(i)Différence infinitésimale de potentiel dV     E dr (équation 9) r
q q q
L’équation (9) est vraie pour tous les cas à symétrie radiale (sphérique et cylindrique).
 
On a utilisé le fait que F  qE et que F  qE . r r
kQ
E  Composante radiale du champ électrique pour un cas à symétrie sphérique (comme une charge r 2r
ponctuelle)
Figure 12 (ii) Différence de potentiel quelconque (cas radial) 2
r2 E E drV  V r   V r  = (équation 10) 2 1 r r1
rL’équation est valide pour les cas à symétrie radiale 2
(sphérique et cylindrique).
Cas particulier: symétrie sphérique : 
kQ EAvec E  , l’équation 10 devient; 1 r 2 rr 1
Q V V r  V r   2 1

r2r 12  kQ r 1 1 kQ kQ
  dr  kQ  kQ    Donc 2  r r 1 r r r r1  2 1  2 1r1
kQ kQ
V  V r  V r    (Équation 11) 2 1
r r2 1
Comme dans le cas de l’énergie potentielle, la différence de potentiel ne dépend pas du chemin suivi entre les
deux points 1 et 2.
x2 E dxCas à symétrie plane : si le champ est parallèle à x, on a : V V x  V x = Équation 10b 2 1  xx1
On a des équations analogues si le champ est parallèle à y ou z.
7 �




































Calcul du champ à partir du potentiel (i) cas radial : l’équation 9 ⇒ = −
(ii) Cas à symétrie plane : = − (il s’en suit que l’unité de champ est le V/m ou Volt/m)
Dans le cas où le champ est uniforme : = −
− 2 1 Champ uniforme Notion de champ moyen : = =
V 2où est la distance entre les points 1 et 2. V 1

Direction du champ électrique : il est toujours dirigé vers les petits potentiels.(Voir page 6)

Potentiel V en un point quelconque.
Comme pour l’énergie potentielle, et pour des raisons pratiques dans le but de faciliter les calculs, on veut
pouvoir calculer le potentiel V en un point. Pour cela, on doit choisir un potentiel de référence arbitraire ; on
choisit en général le point où le champ est nul c'est-à-dire à l’infini, et on dit que le potentiel est nul également
en ce point; donc : V( )  0.
Supposons un cas radial :
Posons :
r   Avec V( )  0 1
Et r  r 2
kQ kQ 
L’équation 11 devient : V r  V        
r  
kQ
V (r)  Équation 12
r
Relations entre V et U :
U = q V
U = q V
On rappelle que dans les équations de ce chapitre q est la charge qui se déplace et Q est la charge en général
fixe qui exerce une force sur q.

Cas où le potentiel de référence V( )  0 est impossible.
Considérons un cylindre conducteur de rayon R portant une densité linéaire de charge  . Le champ électrique à
2k 
l’extérieur du cylindre vaut: E  r r
r dr r
V (r) V r   2k   2k  ln r    2k  ln r   ln r   0 r 00 rr0
Si r   et V( )  0, on a : V(r)  2k  ln r   ln      2k  ln r     . 0
On trouve ainsi que le potentiel est infini partout, ce qui est impossible.
On doit donc choisir un autre potentiel de référence arbitrairement.
Par exemple V (R)  0.On a alors :
V (r) V R   2k  ln r   ln R   E (r) Graphique qualitatif V(r)et EV(r) r r
r  V (r)  2k  ln  
R 
R r
8 3. Potentiel d’un système de N charges.
L’équation 12 représente le potentiel produit à une distance r par une charge Q. Pour calculer le potentiel
produit en un point P par un système de N charges, on utilise le principe de superposition, c'est-à-dire que
l’on considère que le potentiel produit par le système est la somme des potentiels produits individuellement
par chacune des charges du système.

NFigure 13
kQiV  équation 13 P P  riP
i 1
Si N = 4, on a : r1p
kQ kQ kQ kQ1 2 3 4V     Pr3p r r r r r4p 1P 2P 3P 4P
rQ 2p 1 r est la distance entre le point d’observation P et la iP
charge Q iSystème de
charges 2 2
Q r  x  x   y  y  4 iP P i P i
Q2
Q3


Énergie potentielle d’une charge q (placée en P) dans le potentiel du système :
Si on place une charge q au point P, alors son énergie potentielle est :

U = q V P


Potentiel d’un système de charges- Cas d’une distribution continue
La formule 13 prend la forme d’une intégrale dans le
L cas d’une distribution continue. On utilise une P
(x=0) méthode analogue à celle du calcul du champ d’une
distribution continue.
dx x a Prenons l’exemple d’une tige uniformément chargée x
de densité linéaire de charge  et de longueur L. On
veut calculer le potentiel au point P.
Figure 14
kdq k dx k dx
dV   
r r x
a L  dx   a  La L  
V  k   k  ln(x)  k  ln   aa x a 
9 4. Énergie potentielle d’un système de charges
Prenons l’exemple de 4 charges. On veut calculer l’énergie potentielle
Figure 15 du système de 4 charges. Il y six paires de charges dans ce système.
L’énergie potentielle du système est égale à la somme des énergies
potentielles des six paires de charges. L’équation 8 nous fournit
Q1 l’énergie potentielle d’une paire de charges :
r12 Q2 kQ Q1 2par exemple pour la paire Q , Q : U  r 1 2 14 12
r13 r r23 12r24
2 2
Q avec r  x  x   y  y  3 r34 12 1 2 1 2
L’énergie du système est donnée par : Q4
U  U U U U U U syst 12 13 14 23 24 34

kQ Qi jD’une façon générale pour N charges :U  syst 
ri, j ij
i  jN N paires
La somme est étendue à toutes les paires de charges; on ne doit compter qu’une fois 1 0
chaque paire; pour ne pas compter deux fois une paire, on restreint la somme aux paires (i, 2 1
j) telles que i<j. 3 3
Le tableau ci-contre donne le nombre de paires en fonction du nombre de charges :
4 6 N : nombre de charges, N , nombre de paires de charges. paires5 10
N N 1 
6 15 N  paires
27 21
Voir le point 5 pour une interprétation physique de l’énergie potentielle d’un système.

10