Programme de l'unité d'enseignement “Outils Mathématiques” MA109

Pieralberto Sicbaldi

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• mathématiques
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• Publié par: asutuwin
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Extrait

Programme de l'unité d'enseignement “Outils Mathématiques” MA109

1. Généralitéssur les fonctions numériques d'une variable réelle Nombres naturels, entiers, rationnels et réels. Définition de fonction, ensemble de définition, image d'une fonction. Fonctions numériques de la variable réelle. Graphe d'une fonction. Fonctions paires, impaires, périodiques. Composition de fonctions. Fonctions monotones (fonctions croissantes, strictement croissantes, décroissantes, strictement décroissantes). Fonctions injectives, fonctions réciproques. Fonctions classiques élémentaires : identité, puissances, racines, exponentiels, logarithmes, fonctions trigonométriques et leurs réciproques. Graphe des fonctions classiques élémentaires. Rappels sur les inégalités du premier ordre, du deuxième ordre, avec des racines, avec des valeurs absolues, avec des exponentiels, des logarithmes ou des fonctions trigonométriques. Applications à l'étude du signe d'une fonction. 2. Limites Voisinage d'un nombre réel ou de l'infini. Définition précise de limite d'une fonction numériques de la variable réelle quand la variable tend vers un nombre réel ou vers l'infini. Vérification des limites des fonctions classiques élémentaires. Calcul de limites : limite de la somme, du produit, du quotient ou de la composition de deux fonctions. Théorème des gendarmes. Fonctions continues et leurs propriétés (en particulier celle des valeurs intermédiaires) 3. Dérivées

Taux d'accroissements et son interprétation géométrique. Dérivée d'une fonction en un point et son interprétation géométrique. Conditions d'existence de la dérivée en un point. Dérivée d'une fonction et son ensemble de définition. Propriétés des fonctions dérivables (en particulier la continuité). Calcul de dérivées : dérivée de la somme, du produit, du quotient ou de la composition de deux fonctions, et dérivée de la fonction réciproque. Calcul des dérivées des fonctions classiques élémentaires à l'aide de la définition : dérivée de la fonction identité, des puissances, des racines, des exponentiels, des logarithmes, des fonctions trigonométriques et de leurs réciproques. Nombre de Néper et logarithme néperien. Etude de fonctions : intervalles de croissance et de décroissance, extrema. Dérivée deuxième, courbure du graphe des fonctions (vers le haut ou vers le bas), points d'inflection. Théorème de l'Hôpital et applications au calcul de limites (en particulier, les limites des quotients de puissances et exponentiels, ou de puissances et logarithmes).

4. Suitesréelles et intégrales

Suite réelle. Limite d'une suite réelle. Calcul de limites de suites réelles. Calcul de l'aire de la région du plan comprise entre l'axe horizontale et le graphe d'une fonction : suite des sommes inférieures et sa limite. Définition d'intégrale. Calcul des intégrales : primitives, fonction intégrale, théorème fondamental du calcul intégral (avec démonstration). Primitives classiques élémentaires. Changement de variable, intégration par partie. Calcul de l'aire de régions bornées du plan.

5. Equationsdifférentielles ordinaires

Définition d'équation différentielle ordinaire. Equations différentielles linéaires du premier ordre homogènes. Equations différentielles linéaires du deuxième ordre homogènes à coefficients constants. Equations différentielles linéaires du deuxième ordre non homogènes à coefficients constants (deuxième membre du type : polynomial, exponentiel, trigonométrique ou mixte).