PSI Mardi 4 Septembre 2007 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices ...

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• Publié par: eqaloxoq
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PSI MATHEMATIQUES

Mardi 4 Septembre 2007

Feuille d’Exercices RÉvisions d’algÈbre linÉaire de P.C.S.I Revoyez vos cours concernant espaces vectoriels, applications linÉaires,polynÔmes, es- paces vectoriels de dimension finie, calcul matriciel, systÈmes linÉaires, dÉterminants

IN Exercice 1: SoitC={(u n ) n∈IN ∈/IR(u n ) n∈IN convergente}. Montrer que l’ensemble des suites constantes et l’ensemble des suites de limite nulle sont des sous-espaces supplÉmentaires deC. Exercice 2: SoitEle sous ensemble des fonctions continues surIRÀ valeurs dansIR constituÉ des fonctionsftelles que : 3 ∃(a, b, c)∈IR,∀x∈IR,f(x) =acos 2xcosx+bsin 2xsinx+ccosx 0 1. Montrer queEest un sous espace vectoriel deC(I,RRI). 2. La famille(f 1 , f 2 , f 3 )dÉfinie pour toutx∈IRpar : f 1 (x2) = cosxcosx, f 2 (x2) = sinxsinx, f 3 (x) = cosx est-elle libre dansE? 3. Montrer que tout ÉlÉment deEs’Écrit pour toutx∈IR, f(x) =Acosx+Bcos 3x oÙAetBdÉpendent def(mais pas de x). En dÉduire une base deE.

Exercice 3:aÉtant un rÉel fixÉ, on poseA a ={P∈IR n [X]/P(a) = 0}. 1. Montrer queA a est un sous espace vectoriel deIR n [X]. 2n−1 2. Montrer que la famille(1, X−a,(X−a)X,(X−a)X ,∙ ∙ ∙,(X−a)X)est une base deIR n [X]. 3. Trouver la dimension deA a et un supplÉmentaire deA a dansIR n [X].

Exercice 4: On noteFl’espace vectoriel des formes linÉaires surIR 2 [X]. 3 1. Soitϕl’application deFdansIRdÉfinie pour toute forme linÉairefpar : 2 ϕ(f) = (f(X), f(X), f(1)) Montrer queϕest un isomorphisme d’espaces vectoriels. 2. On considÈre les trois formes linÉaires dÉfinies surIR 2 [X]par : f 0 (P) =P(0), f 1 (P) =P(1), f 2 (P) =P(2) R 2 etgla forme linÉaire dÉfinie pourP∈IR 2 [X]par :g(P) =P(t)dt. 0 Montrer quegappartient À Vect({f 0 , f 1 , f 2 }).

3 32 Exercice 5: SoitE=IKetϕ∈ L(E)tel queϕ= 0etϕ6= 0. 2 2 1. Montrer que, pour tout vecteuru 0 tel queϕ(u 0 )6= 0,(u 0 , ϕ(u 0 ), ϕ(u 0 ))est une base deE. 2. En dÉduire que tous les endomorphismes deEqui commutent avecϕsont de la 2 formeαId E +βϕ+γϕ ,α, β, γÉtant des scalaires quelconques.

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