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Relations d’ordre. Vocabulaire
17d´ecembre2010
1.D´enition.Exemples D´enition1SoitEun ensemble non vide. Unerelation binaireRsurEest un sous-ensembleGdeE×E. On notexRysi(x, y)G. Le sous-ensembleGartpisfo´lepeasepgraphe. Cette terminologie degrapheterealnose´revretevideraemloyplraauxfonctionsecruostse´eonn:iousnfcode ou applications. Exemple :le graphe d’une application deEdansEest une relation binaire surE. Nousconcernant,nousnousinte´ressonsa`desrelationsbinairesparticulie`res:lesrelationsdordre.
D´enition2SoitEun ensemble non vide. Une relation binaireRsurEest unerelation d’ordresurEsi elleve´rie: 1.xE, xRxe´)(r´eexivit 2 2.(x, y)E ,(xRyetyRx)x=yysitte´m)eiran( 3 3.(x, y, z)E ,(xRyetyRz)xRznsit(tra)e´tivi
On dit que le couple (E,R) est unoedrno´nesnmelbe. S’il n’y pas de confusion possible, on dit queEest ordonn´e(sous-entenduparlarelationdordreR). Remarque :Il est d’usage de noter une relation d’ordreau lieu deRlarge´ottuua.Onprendragardem fait quents:uivalesssembseneuolrllpetieuabehdrordontilaeralengise´dN,Z,QetR.
De´nition3SoitEun ensemble non vide. Une relation d’ordreesttotalesi
2 (x, y)E , xyouyx.
On dit que le couple(E,)nn´eordomenttale.bmesoteltsenenu
Une relation d’ordre qui n’est pas totale estpartielle. Nousreviendronsdefa¸conplusd´etaille´esurlarelationdordrehabituellepourlensembleR.Avant cela, donnons quelques exemples de relations d’ordre partiel et total. Exemple : 1. L’ensembleNnemelatotelbmesnnetuesleelsueudre.onn´torditnodroedaleralmuni 2. LesanneauxZetQisindsumusrellueonesestdraletalednoidroentordonn´es.Ainneesbmeltstolame 1 4 oneriereuisilut.´velruoPnte:ortampatlacopoirenrpiepme´´tladavecit´eibiltl-ialumnoteidit 3 5 plication. 3. LecorpsRrdton´onalotenemiA.eisndreusueltiondorsnmelbteelseutenaleraledinumeπpuisque 2e <3πeiraitl(pai`ereentv´eredeeE(e) = 2, celle deπierv´eE(π) = 3). 4. SoitEun ensemble non vide. La relation d’inclusiondansErsurer´deodnidtionaetruelnP(E). Enge´ne´ral,ilsagitdunordrepartiel.(Q.A quelle condition surEest-elle totale?)
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