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Relations d'ordre Vocabulaire

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Relations d'ordre. Vocabulaire 17 decembre 2010 1. Definition. Exemples Definition 1 Soit E un ensemble non vide. Une relation binaire R sur E est un sous-ensemble G de E?E. On note xRy si (x, y) ? G. Le sous-ensemble G est parfois appele graphe. Cette terminologie de graphe est source de confusion : on evitera de l'employer et on la reservera aux fonctions ou applications. Exemple : le graphe d'une application de E dans E est une relation binaire sur E. Nous concernant, nous nous interessons a des relations binaires particulieres : les relations d'ordre. Definition 2 Soit E un ensemble non vide. Une relation binaire R sur E est une relation d'ordre sur E si elle verifie : 1. ?x ? E, xRx (reflexivite) 2. ?(x, y) ? E2, (xRy et yRx) ? x = y (antisymetrie) 3. ?(x, y, z) ? E3, (xRy et yRz) ? xRz (transitivite) On dit que le couple (E,R) est un ensemble ordonne. S'il n'y pas de confusion possible, on dit que E est ordonne (sous-entendu par la relation d'ordre R). Remarque : Il est d'usage de noter une relation d'ordre ≤ au lieu de R.

  • meme fac¸on

  • fac¸on

  • ordre produit

  • r2 defini

  • definition analogue

  • relation d'ordre

  • anneaux z


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Relations d’ordre. Vocabulaire
17d´ecembre2010
1.D´enition.Exemples D´enition1SoitEun ensemble non vide. Unerelation binaireRsurEest un sous-ensembleGdeE×E. On notexRysi(x, y)G. Le sous-ensembleGartpisfo´lepeasepgraphe. Cette terminologie degrapheterealnose´revretevideraemloyplraauxfonctionsecruostse´eonn:iousnfcode ou applications. Exemple :le graphe d’une application deEdansEest une relation binaire surE. Nousconcernant,nousnousinte´ressonsa`desrelationsbinairesparticulie`res:lesrelationsdordre.
D´enition2SoitEun ensemble non vide. Une relation binaireRsurEest unerelation d’ordresurEsi elleve´rie: 1.xE, xRxe´)(r´eexivit 2 2.(x, y)E ,(xRyetyRx)x=yysitte´m)eiran( 3 3.(x, y, z)E ,(xRyetyRz)xRznsit(tra)e´tivi
On dit que le couple (E,R) est unoedrno´nesnmelbe. S’il n’y pas de confusion possible, on dit queEest ordonn´e(sous-entenduparlarelationdordreR). Remarque :Il est d’usage de noter une relation d’ordreau lieu deRlarge´ottuua.Onprendragardem fait quents:uivalesssembseneuolrllpetieuabehdrordontilaeralengise´dN,Z,QetR.
De´nition3SoitEun ensemble non vide. Une relation d’ordreesttotalesi
2 (x, y)E , xyouyx.
On dit que le couple(E,)nn´eordomenttale.bmesoteltsenenu
Une relation d’ordre qui n’est pas totale estpartielle. Nousreviendronsdefa¸conplusd´etaille´esurlarelationdordrehabituellepourlensembleR.Avant cela, donnons quelques exemples de relations d’ordre partiel et total. Exemple : 1. L’ensembleNnemelatotelbmesnnetuesleelsueudre.onn´torditnodroedaleralmuni 2. LesanneauxZetQisindsumusrellueonesestdraletalednoidroentordonn´es.Ainneesbmeltstolame 1 4 oneriereuisilut.´velruoPnte:ortampatlacopoirenrpiepme´´tladavecit´eibiltl-ialumnoteidit 3 5 plication. 3. LecorpsRrdton´onalotenemiA.eisndreusueltiondorsnmelbteelseutenaleraledinumeπpuisque 2e <3πeiraitl(pai`ereentv´eredeeE(e) = 2, celle deπierv´eE(π) = 3). 4. SoitEun ensemble non vide. La relation d’inclusiondansErsurer´deodnidtionaetruelnP(E). Enge´ne´ral,ilsagitdunordrepartiel.(Q.A quelle condition surEest-elle totale?)
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