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Relations d’ordre. Vocabulaire
12 janvier 2010
1.De´nition.Exemples D´enition1SoitEun ensemble non vide. Unerelation binaireRsurEest un sous-ensembleGdeE×E. On notexRysi(x, y)G. Le sous-ensembleGeep´lfoarapistpesgraphe. Cette terminologie degraphenote´ralresearevrateldeplemeroyauxfonctionsedecruostsevi´eonn:iousnfco ou applications. Exemple :le graphe d’une application deEdansEest une relation binaire surE. Nousconcernant,nousnousinte´ressonsa`desrelationsbinairesparticuli`eres:lesrelationsdordre.
D´enition2SoitEun ensemble non vide. Une relation binaireRsurEest unerelation d’ordresurEsi elleve´rie: 1.xE, xRx)(r´eexivit´e 2 2.(x, y)E ,(xRyetyRx)x=y´mysirte()etian 3 3.(x, y, z)E ,(xRyetyRz)xRz)e´tiitivrans(t
On dit que le couple (E,R) est undreno´nesnmelboe. S’il n’y pas de confusion possible, on dit queEest ordonn´e(sous-entenduparlarelationdordreR). Remarque :Il est d’usage de noter une relation d’ordreau lieu deRrge´ottuuaO.nprendragardemal fait ques:vantssuimbleneeslrsepeuoeullitabehdrordontialeralengise´dN,Z,QetR.
De´nition3SoitEun ensemble non vide. Une relation d’ordreesttotalesi
2 (x, y)E , xyouyx.
On dit que le couple(E,)´e.donnntorlemeeelbmatotnutsesne
Une relation d’ordre qui n’est pas totale estpartielle. Nousreviendronsdefa¸conplusd´etaille´esurlarelationdordrehabituellepourlensembleR.Avant cela, donnons quelques exemples de relations d’ordre partiel et total. Exemple : 1. L’ensembleNotnemelatotelbmensnetuesleelsueunodrordaleralitmuniden´e.rdon 2. LesanneauxZetQdsleuminueuseslltdonenesleraoitaodnerdrtordonn´es.Ainsiesbmeltstolamene 1 4 utonerineeuisiloP.re´velrue:latantatibcompire´rppopmro´tieaddiecl´eavilit-iumtltealitno 3 5 plication. 3. LecorpsRonrde.n´emaltoensniAieusuelleondordrmelbtetoseutensnitaleraledinumeπpuisque 2e <3πl(eiteeparaerednti`erieev´E(e) = 2, celle deπeierv´E(π) = 3). 4. SoitEun ensemble non vide. La relation d’inclusiondansEdn´eunitelerrsurerdondioatP(E). Enge´ne´ral,ilsagitdunordrepartiel.(Q.A quelle condition surEest-elle totale?)
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