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H. Rorthais

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1 e S - programme 2010 –mathématiques – ch.3 – cahier élève Page 1 sur 27 H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes) Ch.03 Fonctions de référence Exercice n°A page 46 : Maîtriser le vocabulaire de base relatif aux fonctions Vrai ou faux ? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. On considère les fonctions f : x  3x – 1, g : x  –x2 + x + 3 et h : x  –2x + 5 3x – 4 .

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Extrait

e
1 S - programme 2010 –mathématiques – ch.3 – cahier élève Page 1 sur 27
Ch.03 Fonctions de référence
Exercice n°A page 46 : Maîtriser le vocabulaire de base relatif aux fonctions
Vrai ou faux ? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
–2x + 52
       On considère les fonctions f : x 3x – 1, g : x –x + x + 3 et h : x .
3x – 4
1) L'image de 1 par la fonction h est –5.
–2  1 + 5 3
h(1) = = = –3  –5
–13  1 – 4
2) Le réel 3 a deux antécédents par la fonction g.
2 g(x) = 3 –x + x = 0 x( –x + 1) = 0 x = 0 x = 1
3) La courbe représentative de la fonction g passe par le point de coordonnées (3 ; 0).
2 g(3) = –3 + 3 + 3 = –3  0
4) « 1 est un antécédent de 2 par f » est équivalent à « 1 est solution de l'équation f (x) = 2 ».
f (1) = 2
5) Le réel –1 est solution de l'équation f (x) = 0.
f ( –1) = 3( –1) – 1 = –4  0
6) L'ensemble de définition de la fonction h est IR \ {0}.
4
h(x) 3x – 4  0 x 
3
Exercice n°B page 46 : Revoir la notion de variations d'une fonction
Q.C.M. Pour chacune des affirmations suivantes, préciser la (ou les) bonne(s) réponse(s).
a et b désignent deux réels et f une fonction définie sur IR.
1) Si a < b et f (a) < f (b), alors : c) On ne peut pas en
a) f est croissante b) f est décroissante
déduire les variations
sur [a ; b]. sur [a ; b].
de f sur [a ; b].
c
2) Si a < b et f (a) > f (b) alors : a) f peut être b) f peut être c) On ne peut pas en
croissante sur décroissante sur déduire les variations
[a ; b]. [a ; b]. de f sur [a ; b].
b c
3) On a affiché la
représentation
b) f est constante graphique d'une a) f est croissante c) f est croissante sur
sur l'intervalle fonction f sur sur IR. l'intervalle [2 ; 3]. [0,5 ; 1,5].
l'écran de la calculatrice.
On peut conjecturer que :
c .
4) On sait que, pour tout réel x, f (x)  f (2) ; a) f admet un b) f est croissante c) f peut être
alors : maximum en sur l'intervalle décroissante sur
2. [0 ; 2]. l'intervalle [1 ; 3].
a
Exercice n°C page 46 : Reconnaître les fonctions de référence déjà connues
Vrai ou faux ? Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes, en justifiant la réponse.
–2x + 52
       On considère les fonctions f : x 3x – 1, g : x –x + x + 3 et h : x .
3x – 4
1) La fonction f est linéaire.

2) La fonction f est décroissante sur IR.

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f (b) – f (a)
3) Pour tous réels a et b avec a  b, = 3.
b – a

4) La fonction g est décroissante, puis croissante.

5) La fonction h est une fonction homographique.

1. FONCTIONS DE RÉFÉRENCE DÉJÀ CONNUES
1.1 Les fonctions affines
DÉFINITION 1
Une fonction affine f est une fonction définie sur IR par : f (x) = ax + b, où a et b sont deux réels fixés.
Remarques :
 Si b = 0, l'expression de f est f (x) = ax et f est une fonction linéaire.
 Si a = 0, l'expression de f est f (x) = b et f est une fonction constante.

PROPRIÉTÉ 1
On considère la fonction affine f définie sur IR par : f (x) = ax + b, où a et b sont des réels donnés.
 Si a est positif, la fonction affine f est croissante sur IR.
 Si a est négatif, la fonction affine f est décroissante sur IR.
 La courbe représentative de f dans un repère du plan est une droite.
 Si a > 0 :  Si a < 0 :

1.2 La fonction carré
DÉFINITION 2
2La fonction carré est la fonction f définie sur IR par : f (x) = x .

PROPRIÉTÉS 2
 La fonction carré est décroissante sur ] –  ; 0] et croissante sur [0; + [.

 La courbe représentative de la fonction carré s'appelle une parabole.
Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées.

1.3 La fonction inverse
DÉFINITION 3
1
La fonction inverse est la fonction f définie sur IR \ {0} par : f (x) = .
x

PROPRIÉTÉS 3
 La fonction inverse est décroissante sur chacun des intervalles ] –  ; 0[ et
[0 ; + [.

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 La courbe représentative de la fonction inverse s'appelle une hyperbole.
Dans un repère du plan elle est symétrique par rapport à l'origine.

Exercice corrigé : Utiliser les variations des fonctions de référence
1 21) Justifier que, pour tout réel x < 0, on a < x .
x
122) Conjecturer, à l'aide de la calculatrice, l'ordre entre x et pour tout réel x strictement
x
positif.
3) Démontrer cette conjecture en utilisant les variations des fonctions carré et inverse.
Solution : Méthode :
1 Un réel non nul et son 21) Si x < 0, alors est négatif et x est inverse sont de même signe ; x
un carré est toujours positif. positif ;
1 2donc : < 0 < x .
x

2) La position relative des deux  Lorsqu'une courbe est au-dessus d'une courbe , pour un x
courbes sur la calculatrice
donné, l'ordonnée du point sur est supérieure à l'ordonnée du permet de conjecturer que :
1 2lorsque 0 < x  1, on a  x , point sur : les positions relatives de leurs courbes permettent de
x
2 comparer les deux fonctions. et lorsque x  1, on a 1< x .
 L'observation de l'écran ne permet de voir qu'une partie des
courbes, on ne peut donc pas être sûr de chaque inégalité sur tout
l'intervalle considéré.
1 3) L'image de 1 par la fonction inverse est égale à 1 = 1 , comme l'image de 1 par la fonction carré 1 
2(1 = 1). Donc le point de coordonnées (1 ; 1) est commun aux deux courbes.
La fonction carré est croissante sur ]0 ; 1] ;  Deux réels positifs et leurs carrés sont rangés dans
2 2 le même ordre. donc, si x  ]0 ; 1], x  1 .
La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; 1] ;  Deux réels strictement positifs et leurs inverses
1 1 sont rangés dans l'ordre contraire.
donc, si x  ]0 ; 1],  .
x 1
1 12 2Ainsi, lorsque x  ]0 ; 1],  1  x et donc  x .
x x
Sur l'intervalle [1 ; + [ la fonction carré est croissante et la fonction inverse décroissante ;
1 12 2donc, si x  [1 ; + [, x  1 et  .
x 1
1 2Finalement, on obtient lorsque x  [1 ; + [ : < x . La conjecture est prouvée.
x
Exercice n°1 page 51
Donner le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes :
1
2
       a) f : x 2x – 3 ; b) g : x 3 – 2x ;   d) k : x + 6. c) h : x x – 10 ; x


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Exercice n°2 page 51
2 2Comparer a et b sans utiliser la calculatrice :
1
c) a = –0,1 et b = ; a) a = 1,414 et b = 1,410 4 ; b) a = –3 et b = –3,1 ; d) a = 3 et b = 1,7. 10
2 2 0  b  a b  a
2 2 b  a  0 a  b
2 2 a = –b a = b
2 2 0  b  a b  a
Exercice n°3 page 51
Établir les tableaux de signes des fonctions f et g de l'exercice 1.
1
2
       a) f : x 2x – 3 ; b) g : x 3 – 2x ;   d) k : x + 6. c) h : x x – 10 ; x


Exercice n°4 page 51
1 1
Comparer et sans utiliser la calculatrice :
a b
–2
b) a = et b = –0,66 ; a) a = 25 et b = 26 ; c) a = –2 et b = 3 ; d) a =  et b = 3,14. 3
1 1
0 < a  b 
b a
1 1
a  b < 0 
b a
1 1
a < 0 < b < 0 <
a b
1 1
0 < b  a 
a b
Exercice n°5 page 51
–1 22
    a) Étudier les positions relatives des courbes représentatives des fonctions : x x et x en étudiant le signe
4 x
2 1 2de la différence + x .
x 4
3 2Coup de pouce : x + 8 = (x + 2)(x – 2x + 4).
b) Retrouver ces résultats en utilisant la méthode exposée dans l'exercice corrigé du cours.
3 22 1 8 + x (x + 2)(x – 2x + 4)2 + x = =
x 4 4x 4x
2 2x – 2x + 4 x x – 2x + 4 > 0
4x(x + 2)
–1 22
     f : x x g : x ] – ; –2]
4 x
]0 ; + [ [ –2 ; 0[
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