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S´eminaireBOURBAKI 60`emeann´ee,2007-2008,n o 994
´ ´ LA DUALITE ETRANGE [d’apres P. Belkale, A. Marian et D. Oprea] ` par Christian PAULY
INTRODUCTION
Juin 2008
onnerunbp¸cudunre´sultatimportantsurlesbr´es Le but de ces notes est de d ref a er vectorielssurunecourbealge´brique:ladualit´e´etrangeouladualite´rang-niveau. En 1994, disposant de la formule de Verlinde qui donne la dimension des espaces defonctionstheˆtageneralise´esdordre k surlesespacesdemodulesdebr´esderang ´ ´ r (voirsections1.2et1.3),onaconjectur´equelesdeuxespacesassocie´sauxcouples ( r k ) et ( k r )sontnaturellementduaux,ladualite´entrecesespacesvectorielse´tant induiteparleproduittensorieldesbr´esvectoriels.Cetteconjectureae´te´de´montr´ee seulementen2006,dabordparP.Belkalepourunecourbeg´ene´raleetensuiteparA. Marian et D. Oprea pour toute courbe. Unedeside´esprincipales,communeauxdeuxd´emonstrations,estdeconstruireune baseexplicitedefonctionstheˆtag´en´eralis´eesdordre r index´eepardesbre´svectoriels particuliers de rang r .P.Belkaleobtientcesbre´sparticulierscommesous-br´esdun bre´derang r + k surladroiteprojective,etA.MarianetD.Opreaconsid`erentles sous-bre´sdedegre´maximaldunbr´ex´ederang r + k sur une courbe quelconque. Ladeuxie`meideecle´estalorsdemontrerquelenombredecesbre´sparticuliersest ´ ´egala`ladimensiondesespacesdefonctionstheˆtage´ne´ralis´eesdonn´eeparlaformulede Verlindenotonsquelesdeuxprobl`emes´enum´eratifsetleurnombredesolutionssont die´rents.Cest`aceniveau-la`o`uinterviennentlacombinatoiredelaformuledeVerlinde et le lien entre l’anneau de fusion et la cohomologie quantique de la grassmannienne Gr( r r + k ),d´ej`aobserv´eparE.Wittendans[W].TandisqueP.Belkalemontreque lenombredesesbr´esparticuliersve´rientlesmˆemesrelationsdere´currencequeles nombres de Verlinde, A. Marian et D. Oprea utilisent la formule de Vafa et Intiligator donnantlesinvariantsdeGromov-Wittenassoci´esa`lagrassmannienneGr( r r + k ). Dansladernie`resectionjed´ecrisquelquesg´ene´ralisationsdeladualitee´trange,no-´ tammentauxbr´esvectorielsavecstructureparaboliqueetaux G -bre´sprincipaux. Dans ce dernier cas de nombreuses questions restent ouvertes.