Seminaire BOURBAKI Novembre 64eme annee no

Michel Brion

Description

Seminaire BOURBAKI Novembre 2011 64eme annee, 2011-2012, no 1043 RESTRICTION DE REPRESENTATIONS ET PROJECTIONS D'ORBITES COADJOINTES [d'apres Belkale, Kumar et Ressayre] par Michel BRION 1. LE PROBLEME DE LA RESTRICTION POUR LES GROUPES DE LIE COMPACTS CONNEXES 1.1. Introduction Soient K un groupe de Lie compact connexe et L un sous-groupe ferme connexe. Le probleme considere dans cet expose est de determiner les representations irreductibles (continues, complexes) de L qui apparaissent dans la restriction d'une representation irreductible de K. En theorie, ce probleme a une solution complete : rappelons que les representations irreductibles de K sont parametrees par les poids dominants. Notons ?+K l'ensemble de ces poids, et VK(?) le K-module simple de plus haut poids ? ? ? + K . Definissons de meme ?+L et VL(µ) ; on a alors un isomorphisme de L-modules ResKL VK(?) ?= ? µ??+L m(µ, ?)VL(µ) ou les multiplicites m(µ, ?) sont des entiers naturels uniquement determines. En notant ?K(?) le caractere de VK(?) et ?L(µ) celui de VL(µ), on obtient m(µ, ?) = dim HomL(VL(µ),Res K L VK(?)) = ∫ L ?K(?)?L(µ) dl ou dl designe la mesure de Haar de L, normalisee de

• solution complete


• poids fondamentaux


• somme alternee d'entiers positifs


• systeme minimal


• groupe algebrique


• g?


• polytope convexe


• description du ??cone de la restriction ??

Sujets

• Groupe algébrique
• Ensemble convexe
• multiplication
• conjugaison

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 novembre 2011
• Nombre de lectures: 75
• Langue: Français

Extrait

S´eminaireBOURBAKI 64e`meann´ee,2011-2012,n o 1043

Novembre 2011

´ RESTRICTION DE REPRESENTATIONS ET PROJECTIONS D’ORBITES COADJOINTES [d’apre`sBelkale,KumaretRessayre] parMichel BRION

` 1. LE PROBLEME DE LA RESTRICTION POUR LES GROUPES DE LIE COMPACTS CONNEXES 1.1. Introduction SoientKun groupe de Lie compact connexe etLsnuocnnxe.eeLous-groupeferm´e probl`emeconside´r´edanscetexpose´estdeelbise´rrtcudsenepe´rnoisatittermd´elesriner (continues, complexes) deLlarestrisentdanspaaparsiqiunioatntsee´rperenu’dnoitc irr´eductibledeK. Enthe´orie,ceproblemeaunesolutioncompl`ete:rappelonsquelesrepre´sentations ` irre´ductiblesdeKdodsnamis.nttoNoΛsnsontparam´te´reepsraelpsio + K l’ensemble de ces poids, etV K (λ) leK-module simple de plus haut poidsλ∈Λ K + dseonssniefiD´. meˆmeΛ + L etV L (µon a alors un isomorphisme de ) ;L-modules Res L K V K (λ) ∼ = M m(µ, λ)V L (µ) µ∈Λ + L ou`lesmultiplicit´esm(µ, λitresenerulenstaontd)snimr.se´onnEtnatnisuemqutdente´e χ K (λdee)lecaract`erV K (λ) etχ L (µ) celui deV L (µ), on obtient m(µ, λ) = dim Hom L (V L (µ),Res K L V K (λ)) = Z L χ K (λ)χ L (µ)dl ou`dleHedrdaaamelurese´dngiseLsortequeil´seeedn,roam R L dl=1.Grˆaceaux formulesdescaract`eresetd’inte´grationdeWeyl,onpeutdoncexprimerlafonction (µ, λ)7→m(µ, λco´iee`sa)nees´enndodeesrmtessaseriotanibmocKetL. Cependant, laformuleainsiobtenue([14,Lem.3.1])nepermetquerarementdecaract´eriserles couples (λ, µ) tels quem(µ, λ)6= 0, comme l’illustrent les exemples suivants. Exemple 1.1. — Prenons pourLun tore maximalTdeK. Soit Λ le groupe des car- acte`resdeT; alors Λ + := Λ K + est l’intersection du groupe des poids Λ = Λ T + et de la chambre positiveCeirotcevΛlee´rldansl’espace R := Λ⊗ Z R. De plus,m(µ, λ) est la multiplicite du poidsµdansV K (λ) =:V(λ). ´

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Laformuledescaracte`resdeWeylsere´e´critsouslaforme m(µ, λ) = X ε(w)P(w(λ+ρ)−(µ+ρ)) w∈W ou on noteWle groupe de Weyl,ε:W→ {±1}te´eedl(tnanimreralruopsentpr´enatio ` deWdans Λ R ),ρla demi-somme des racines positives, etPla fonction de partitions en racines positives ([9, Ch. VIII,§9, Prop. 1]). Ceci exprimem(µ, λ) comme une somme altern´eed’entierspositifs,enge´ne´raltr`esgrands. Cependant, l’ensemble des poids deV(λ:elpirndteec`etrimssemutenedcsirtpoi)ad c’estl’intersectiondutranslat´eλ+ Λ R `uΛo R ´dgeeneΛedpuorg-suoselengid´es n re par les racines, et de l’enveloppe convexe Conv(W λ) de l’orbite deλparW([9, Ch. VIII, §7, Prop. 5 et Exer. 1]). LorsqueKest semi-simple, le polytope Conv(W λ)efost´ermsdeµ∈Λ R qui sont solutionsdusyst`emed’in´equationsline´aires (µ, w$ i )−(λ, $ i )≤0 (i= 1, . . . , r, w∈W/W i ) ou$ 1 , . . . , $ r tlesgnen´esidemaduatndiopnofsx,W i le groupe d’isotropie de$ i dans ` W, et (−,−Λiruqserulraefsoyrmm´eebtilin´ea)i R provenant de la forme de Killing. Si depluslarepr´esentationdeKdansV(λnnyo)uanutnemrofsnoituaeqn´sicei,finau syste`meminimal:ellessontdeux`adeuxnone´quivalentes,etchacuned´efinituneface de codimension 1 de Conv(W λ). Exemple 1.2. — Considerons l’inclusion diagonale deKdansK×K. Avec les notations ´ del’exemplepre´c´edent,lesK×K-modules simples ne sont autres que les produits tensorielsV(λ)⊗V(µ`)uλ, µ∈Λ + .mseLtiulicpl´eitsm(ν, λ, µ) sont classiquement o not´eesc µ, ν λ eppatesee´lcoefficients de Littlewood-Richardson; on a donc un isomorphisme deK-modules V(λ)⊗V(µ) = ∼ M c ,µ ν λ V(ν). ν∈Λ + Ond´eduitdelaformuledescaract`eresdeWeyll’identite´ c ν ,λµ = X ε(ww 0 )P(w(λ+ρ) +w 0 (µ+ρ)−(ν+ 2ρ)) (w,w 0 )∈W×W ([9, Ch. VIII,§semoemlaetnre´esteeitrounrecoenmelu`o)]dederbmeop.29,Pr d’entiers positifs. Par ailleurs, lesc λ, ν µ edste´einrmbiomnccoa¸eftdenalrap,eriotan re`gledeLittlewood-RichardsonlorsqueKest le groupe unitaire U n ([28, I.9]), et par le hh mod`eimsneledcseh ii pourKarbitraire ([27]). En notantν ∗ le plus haut poids duG-module simple dualV(ν) ∗ , on obtient c λ ν ∗ ,µ = dim(V(λ)⊗V(µ)⊗V(ν)) G . En particulier,c ν λ ∗ ,µ sestmye´rtqieuneλ,µetν. Posons LR(K) :={(λ, µ, ν)∈(Λ + ) 3 |c λ, ν ∗ µ 6= 0}.

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On verra en 2.1 que LR(Knom-suosnutse)deniefiypetedıdo¨(Λ + ) 3 , et en 2.2 que le sous-groupe de Λ 3 ngedrenpa´eR(rLKse)roftde´m(seλ, µ, ν) tels queλ+µ+ν∈Λ R . LorsqueK= U n , on pose LR(K) := LR n ; on identifie les poids dominants aux suites de´croissantes(λ 1 ≥. . .≥λ n deeivrscu´enrioptricsedenU.sfitaler’entiersorm´eesdf) LR n est obtenue par la combinaison de travaux de Klyachko ([22]) et de Knutson et Tao ([24]) : (λ, µ, ν)∈LR n seist´tilagentmeleeu’´alonsi e n n n X λ i + X µ j + X ν k = 0 i=1j=1 k=1 etlesine´galit´es X λ a + X µ b + X ν c ≤0 a∈A b ∈ B c∈C pour tous les sous-ensemblesA, B, Cde{1, . . . , n} mbre ˆui ont lrel´ementsd’´ q e meme no (o`ur= 1, . . . , n−1) et qui satisfont (λ(A), λ(B), λ(C)−(n−r) r )∈LR r ou`λ(A) := (n−r+ 1−a 1 , . . . , n−a r ) lorsqueA= (a 1 <∙ ∙ ∙< a r ),eto`unoopes (n−r) r := (n−r, . . . , n−r).utKn,noseoaTooWtrawdsontiuaeqn´sieleuqe´rtnomtnod pour lesquellesc (c λ( r A − ),λ r,. ( ., B c. ) 1 −1) imin([alt`ysememnemrsnutof1=)].52S,ce6. Pour un groupeKarbitraire, le hh welttiLehciR-doomedıdo¨ononards ii LR(K) est en ge´ne´ralinconnu.Maislecˆonequ’ilengendreestconvexe,poly´edraletrationnel,eton saitled´ecrirepardesin´equations;lere´sultatleplusfinestdˆu`aBelkaleetKumar ([4])apr`esdenombreuxtravauxante´rieurs.Lamyst´erieuseconditionsurlestriplets d’indices (A, B, Cnegareete`estent’iprer)str.uhebedcSclludecarmesentelise ´ ´ Plusg´ene´ralement,lemonoı¨deasso¸gauprobl`emed cie´defaconanaloueelarestriction estdetypefini;lesine´quationsminimalesducˆonequ’ilengendreonte´t´eobtenuespar Ressayredansl’article[33].Apre`squelquespr´eliminairesdethe´orieg´eom´etriquedes invariants,onexposeraunepartiedecetarticle,pouraboutira`ladescriptiondu hh ˆonec de la restriction ii itucilred,u9)4.me`earnp,eetroe´ht( hh nedeLittlewood-Rcoˆahciosdrn ii (the´or`emes4.10et4.11).Ontermineraparunebe`´ntationdesre´sultatsde[4], r ve prese ainsiquedetravauxult´erieursetdequestionsouvertes. 1.2. Projection d’orbites coadjointes Unlienentrerestrictionderepre´sentationsetprojectiond’orbitescoadjointesa´et´e de´couvertparHeckman([14]),puisg´ene´ralis´eparGuilleminetSternberg([13])dans lecadredelag´eom´etriehamiltonienne.Pourpr´esentercelien,introduisonsquelques notations. Le groupeKeiLg`ebredeanssonalo`predekjoadteintaenontiperase´rlraptoeo;nn k ∗ ee´leppa,elaudnoitentar´esarepedelpscale’coadjointend.O´efinitdemˆemeletl ∗ . L’inclusion deldanskse transpose en la projection p:k ∗ →l ∗