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S´eminaireIUF:turbulenceetde´terminisme Grenoble, 23-24 janvier 1997
UN EXEMPLE DE CHAOS CLASSIQUE ET QUANTIQUE : LES SURFACES DE RIEMANN.
YvesColindeVerdi`ere Institut Fourier et Institut universitaire de France
1. Introduction . — S´etantconvaincuquelaplupartdese´quationsdi´erentiellesdelam´ecaniquene sont pas int´egrables (enunsensanalytique,cest-a`-direquonpeutre´duirelecalculdes solutionsa`desquadratureseta`lare´solutiond´equationsalg´ebriques),HenriPoincar´ea proposedefaireunee´tudequalitativedestrajectoiresbase´eenparticuliersurlanalysis ´ situs (appell´eeaujourdhui topologie ) fondant ainsi un nouveau domaine scientifique que nous appellons lessyste`mesdynamiques . Le´quationdie´rentielleestuneversionmathe´matiquedunsyst`eme de´terministe (paroppositiona`unprocessusstochastiquedutypemouvementbrownienouchainede Markov). Cettesciencedessyst`emesdynamiques,ouplutˆotsabrancheconsacre´eauxsyste`mes instablesetchaotiques,estrevenuesurledevantdelasce`nedepuislesann´ees60sousle nom de th´eorieduchaos . Certainssyst`emesdynamiques,d´eterministesdonc,pre´senteunegrandeinstabilit´e dynamique ( effet papillon : un petit changement dans les conditions initiales se traduira atermeparuneevolutiontre`sdie´rente).Toutepre´visionestdonclimite´edansletemps ` ´ par l’insuffisance de l’information sur les conditions initiales. Pourcessyste`mes,onpeutparfoisadopterunedescriptionpurementstatistiquedes trajectoires(ergodicite´,me´lange).Lexempleleplussimpleade´j`ae´te´´etudie´parHadamard, ilsagitdesge´ode´siquessurunesurfacea`courburedeGaussne´gative;sansrentrerdans tropded´etails,disonsquelacourburene´gativeforceladivergenceexponentielledes ge´ode´siques;eneetlesge´od´esiquesinnimentprochesdelag´eode´siqueid´re´esont cons e alorsdonn´eesparle´quationdeJacobiquiestdelaforme X ′′ + KX = 0 o`u K est la courbure de Gauss et dont les solutions, si K = 1, sont des exponentielles. 1
Certainssyst`emesdelam´ecaniquedesuides,parexemplelese´quationsdEuler,peuvent ´entrdelacourburen´egative(voirArnold[AR1]). pres e Lame´caniquenewtoniennenestpassusantepourd´ecrireuncertainnombrede phe´nom`enesenparticulierdelaphysiquedes´echellesatomiques;elleestimpuissantea` expliquerlesraiesspectralesdesatomesetdesmol´ecules. Lame´caniquequantique,quicontientlame´caniquenewtonienneouclassiquecomme caslimite(unpeucommeloptiquege´ome´triqueestlecaslimitedeloptiqueondulatoire auxcourteslongueursdondes),fournitunmod`eleadapt´epourd´ecrirelaphysique`a le´chelledelatome.Pouruneintroduction,onpeutconsulterparexemple[MA]ou[F-H]. Undescaract`ereslesplusmarquantsdunsyst`emequantiqueestlexistencedun spectre ,suitedenombresre´els E 1 < E 2 <    < E n <    quiestunesortedesignaturedusyst`emeconsidere´etquiestobservableexpe´rimentalement ´ (spectroscopies). Conside´ronsmaintenantunsyste`mequantiquequisoitprochedur´egimeclassique, onditalorsquelesyst`emeest semi- ou quasi-classique . Danslecaso`uladynamiqueclassiqueestint´egrable,lespectresexprimeentermes denombresentiersappell´es nombres quantiques : ce sont les fameuses conditions de quanticationdeBohr-Sommerfeld.Uncasparticulierestceluidesge´ode´siquesdutore pourlequelonretrouvelathe´oriedesse´riesdeFourier. De´ja`en1917,dans[EI],Einsteinremarquaitquecesconditionsnontaucunsens pourunsyst`emeg´ene´rique(etdoncnonint´egrable).Unequestionnaturelleestalorsla suivante : quellespropri´ete´sduspectrequantiquesont-elleslatraceduchaosclassique? Lathe´matiquescientiqueainside´criteportelenomde chaos quantique , nom mal adapt´e,carilnyapas`aproprementparlerdechaosquantique:unsyste`mequantique estenfaitunsyst`emeclassiquelin´eaireendimensioninnieetilestinte´grableentant quetel!!Ceproble`meestlobjetderecherchesintensesdepuisunevingtainedanne´esa` la recherche du chaos quantique . Uneformuleexacteremarquablerelielespectrequantiquea`sonanalogueclassique lensembledeslongueursdesg´eode´siquespe´riodiques: la formule des traces de Selberg (Selberg1956,[B-V],[HE]).Elledonneuneinformationsurlesoscillationsdeladensite´ spectraleentermesdeslongueursdesg´eod´esiquesp´eriodiques(encestermes,elleest g´ene´ralisableenuneformuleasymptotiquevalabledansler´egimesemi-classique,connue souslenomdeformuledestracesdeGutzwiller(1970-71),mais`alaquellesontaussi attach´lesnomsdeR.BalianetC.Blochetdontjaidonn´edansmath`eseen1973 es lapremie`reformulationmath´ematique,ensuiteJ.Chazarain,puisH.Duistermaatet V.Guilleminontdonn´euneversionplusmaniable).Cesformulesnepermettentpas
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