Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

Sous algebres de dimension finie de l'algebre des champs hamiltoniens

De
4 pages
Sous-algebres de dimension finie de l'algebre des champs hamiltoniens. Thomas Delzant (1) I. Introduction. Soit (M,?) une variete symplectique. Rappelons qu'un champs de vecteur X sur M est localement hamiltonien si son flot preserve la structure symplectique, ou, ce qui revient au meme , si i(X)? est une 1-forme fermee. Si cette forme est exacte on dit que X est globalement hamiltonien. Un hamiltonien de X est une fonction x ? C∞(M) telle que i(X)? = dx. L'ensemble X? des champs de vecteurs localements hamiltoniens forme une algebre de Lie pour le crochet de Poisson. La sous-algebre X h? des champs globalement hamiltoniens est un ideal de l'algebre X? des champs localement hamiltoniens, contenant l'ideal derive. Cela resulte de la formule de Poisson : Si X et Y sont localement hamiltoniens , ?(X,Y ) est un hamiltonien de [X,Y ]. Pour toutes ces notions, le lecteur pourra se reporter au traite de J. M Souriau ([S]), ainsi qu'a ([A], [A-M], [G-S], [L-M], [M-S], [W]).

  • algebre

  • systemes d'equations

  • champ

  • methodes mathematiques de la mecanique classique

  • hamiltonien de z

  • hamiltonien

  • ideal derive

  • structures des systemes dynamiques


Voir plus Voir moins
Sous-alg`ebresdedimensionniedelalge`bredeschampshamiltoniens. (1) Thomas Delzant
I. Introduction. Soit (M, σsnuqucnR.paepolecteurhampsdev)i´arevunpmyse´teeuqitcelXsurM estlocalementhamiltoniensisonotpr´eservelastructuresymplectique,ou,cequirevient aumˆeme,sii(X)σmre´.ee´eciSfettesnetufo1-efrmtiuqeormeestexacteondXest globalement hamiltonien.Un hamiltonien deXest une fonctionxC(M) telle que i(X)σ=dx. L’ensembleXσsdmpecevdehascederbe`glaenueiensformhamiltonlamenestetrulsco h LiepourlecrochetdePoisson.Lasous-alg`ebreXdes champs globalement hamiltoniens σ estunide´aldelalg`ebreXσal´eerd´´eiv.hcsedacolspmalementhamiltoniesnc,noetantnldi Celare´sultedelaformuledePoisson: SiXetYsont localement hamiltoniens ,σ(X, Y) est un hamiltonien de [X, Y]. Pourtoutescesnotions,lelecteurpourrasereporterautrait´edeJ.MSouriau([S]), ainsiqua`([A],[A-M],[G-S],[L-M],[M-S],[W]). Nous´etudionslessous-alge`bresdedimensionniedeXσ,ossul-hpytoeuqese`hMsoit compacte.Onpeutregrouperlesr´esultatsobtenusenun´enonc´e. The´ore`me.SoitGalg`ebrendenLiieedelidemsnoi`gbeeredouesals-unXσdes T h champs localement hamiltoniens, et soitH=G Xsglohampdescebre-abel-suo`glasal σ ment hamiltoniens deG. i) SiG=R+SisitnoedeLiv,opmoce´denutse[R,S] = 0. ii) SiGest semi-simple, elle est compacte. iii) SiGest nilpotente,Hest centrale,etGest nilpotente en deux coups. iv) SiGe,bl´eestrlusoHe,ente´baneilsteGseelienne.tm´etab´ IID´emonstration. SoitGoisnemidederbe`gals-ouesunedenniXσ. NousnoteronsH ⊂ Gs´eddalelichamps globalement hamiltoniens.On a le : Lemme 1SoitX∈ G. i) Les valeurs propres deadXsont0et des nombres imaginaires purs. 2 espacedeJordanassocie´a`lavaleurpropre0,ad7→ ii) SiG0est le sous-X:E0: 2 E0, ad= 0. X iii) SiEλlevanour´ecila`alunnelesous-esestldrnasaosapecedoJλ, adX:Eλ7→Eλ, adx=λ.Idtsnueoth´ehom.etie iv)Onpeutd´ecomposerG=G0+ Σλk>0Fλk, avec 2 =λ Id. adX:Fk7→Fk, adX k (1) Irma,Universite´LouisPasteur,7rueR.Descartes,F-67084StrasbourgCedex. e-mail :delzant@math.u-strasbg.fr 1
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin