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Sous-alg`ebresdedimensionniedelalge`bredeschampshamiltoniens. (1) Thomas Delzant
I. Introduction. Soit (M, σsnuqucnR.paepolecteurhampsdev)i´arevunpmyse´teeuqitcelXsurM estlocalementhamiltoniensisonotpr´eservelastructuresymplectique,ou,cequirevient aumˆeme,sii(X)σmre´.ee´eciSfettesnetufo1-efrmtiuqeormeestexacteondXest globalement hamiltonien.Un hamiltonien deXest une fonctionxC(M) telle que i(X)σ=dx. L’ensembleXσsdmpecevdehascederbe`glaenueiensformhamiltonlamenestetrulsco h LiepourlecrochetdePoisson.Lasous-alg`ebreXdes champs globalement hamiltoniens σ estunide´aldelalg`ebreXσal´eerd´´eiv.hcsedacolspmalementhamiltoniesnc,noetantnldi Celare´sultedelaformuledePoisson: SiXetYsont localement hamiltoniens ,σ(X, Y) est un hamiltonien de [X, Y]. Pourtoutescesnotions,lelecteurpourrasereporterautrait´edeJ.MSouriau([S]), ainsiqua`([A],[A-M],[G-S],[L-M],[M-S],[W]). Nous´etudionslessous-alge`bresdedimensionniedeXσ,ossul-hpytoeuqese`hMsoit compacte.Onpeutregrouperlesr´esultatsobtenusenun´enonc´e. The´ore`me.SoitGalg`ebrendenLiieedelidemsnoi`gbeeredouesals-unXσdes T h champs localement hamiltoniens, et soitH=G Xsglohampdescebre-abel-suo`glasal σ ment hamiltoniens deG. i) SiG=R+SisitnoedeLiv,opmoce´denutse[R,S] = 0. ii) SiGest semi-simple, elle est compacte. iii) SiGest nilpotente,Hest centrale,etGest nilpotente en deux coups. iv) SiGe,bl´eestrlusoHe,ente´baneilsteGseelienne.tm´etab´ IID´emonstration. SoitGoisnemidederbe`gals-ouesunedenniXσ. NousnoteronsH ⊂ Gs´eddalelichamps globalement hamiltoniens.On a le : Lemme 1SoitX∈ G. i) Les valeurs propres deadXsont0et des nombres imaginaires purs. 2 espacedeJordanassocie´a`lavaleurpropre0,ad7→ ii) SiG0est le sous-X:E0: 2 E0, ad= 0. X iii) SiEλlevanour´ecila`alunnelesous-esestldrnasaosapecedoJλ, adX:Eλ7→Eλ, adx=λ.Idtsnueoth´ehom.etie iv)Onpeutd´ecomposerG=G0+ Σλk>0Fλk, avec 2 =λ Id. adX:Fk7→Fk, adX k (1) Irma,Universite´LouisPasteur,7rueR.Descartes,F-67084StrasbourgCedex. e-mail :delzant@math.u-strasbg.fr 1