Suites recurrentes lineaires d ordre 2 a coefficients complexes ou reels Cours

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Suites recurrentes lineaires d ordre 2 a coefficients complexes ou reels Cours

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• Publié par: porthos
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j a ˛ ˛  q ˛ r l q ˛ r j q  r fi l - l a - ˛ l - l j l j l  l ˛ l ˛ l Û  -  l ˛ - l - ˛ Û l j l a l a l ˛ l - l j ˛  l  l  l  l " l  l ˛ l l Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients complexes ou réels Soient a, b
. On considère l'ensemble E = {u
définies par u , u
et u = a u + b u n }a,b 0 1 n+2 n+1 n (E est l'ensemble des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants fixés dans
)a,b Il est clair que : E est un sous espace vectoriel de
.a,b De plus : dim (E ) ==== 2a,b



2 En effet, il suffit de considérer l'application : E
a,b u (u ; u )0 1 est un isomorphisme de
-espace vectoriel. (En effet, est clairement linéaire et clairement bijective puisque toute suite u de E est caractérisée par la donnée de ses deux premiers termes u et u )a,b 0 1 2 Or, dim (
) = 2 donc dim (E ) = 2 également.a,b

1 1 On peut donc construire une base (u, v) de E en considérant u = ((1 ; 0)) et v = ((0 ; 1)). (Imagea,b 2 réciproque par de la base canonique du
-espace vectoriel
) Recherchons les suites géométriques éléments de E .a,b n *Soit v
définie par v = (
).n 2 v E a b = 0a,b 2Notons et les deux racines complexes de l'équation caractéristique r a r b = 0. (Elles existent car
est1 2 algébriquement clos) n n Ainsi : v E v = ( ) ou v = ( ) a,b n 1 n 2 On en déduit la forme générale (et explicite) des éléments de E :a,b n n• Si et sont distincts, on montre que les suites et sont indépendantes d'où :1 2 ( ) ( )1 2 n nu = A + B où A, B
n ( ) ( )1 2 n n• Si = = , on montre que les suites et n sont indépendantes d'où :1 2 ( ) ( ) nu = (An + B) où A, B
n ( ) Sous-cas spécial : = 1. La suite (u ) est alors arithmétique.n Cas particulier : a, b . Mêmes résultats que précédemment (en remplaçant
par ) sauf dans le cas où et1 sont des racines complexes conjuguées distinctes : on pose dans ce cas :2 n n n n+ n n ƒ = = Re et g = = Im( ) ( ) 2 2i On vérifie que ƒ et g sont des suites (réelles) indépendantes de E .a,b iEn notant = e , il vient donc : n n u = A cos(n ) + B sin(n ) où A, B n Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 Page 1 G. COSTANTINI- x  - x  l „ l  - - - - -  -  ˛ - - - - W - - „ W - W - W -  -  l  „  x  „  -  -  -  x  -  -  l  l  l  -  -  -  -  l  l  l  l  ˛    "  ˛   Cas des suites linéaires du second ordre à coefficients constants avec "second membre constant" Il s'agit des suites (u ) définie par u , u
puis par la relation de récurrence :n 0 1 u = a u + b u + c n avec c 0.n+2 n+1 n Posons, pour tout n : v = u + n n On a ainsi : v = u + = a u + b u + c + = a(v ) + b(v ) + c + n+2 n+2 n+1 n n+1 n v = a v + b v a b + c + n+2 n+1 n c Lorsque a + b 1; il suffit de choisir = a + b 1 Ainsi, v = a v + b vn+2 n+1 n On applique alors ce qui précède pour expliciter (v ) puis (u ).n n Lorsque a + b = 1, on calcule u puis on procède ainsi :2 u = a u + b u + cn+2 n+1 n u = a u + b u + cn+3 n+2 n+1 Par différence : u = (a + 1)u + (b a)u bun+3 n+2 n+1 n Et comme a + b = 1 : u = (a + 1)u + (1 2a)u (1 a)un+3 n+2 n+1 n On est ainsi ramené à une récurrence linéaire d'ordre 3 d'équation caractéristique : 3 2( ) : r (a + 1)r + (2a 1)r + 1 a = 0 Il est clair que r = 1 est une racine de ( ). 2De plus, on a en dérivant : 3r 2(a + 1)r + 2a 1 = 0. Donc l'ordre de multiplicité de la racine r = 1 dans ( ) est au moins 2. 3 2 2En effectuant le division euclidienne de r (a + 1)r + (2a 1)r + 1 a par (r 1) , on obtient : 2 ( ) : (r 1) (r b) = 0 On en déduit une expression de (u ) :n n Si b 1 : u = (An + B) + Cbn 2Si b = 1 : u = (An + Bn + C)n Autre approche : La relation de récurrence u = a u + b u + c s'écrit matriciellement :n+2 n+1 n u 0 1 u 0



n+1 n= + u b a u cn+2 n+1 u 0 1 0


n Posons X = , A = et B = . Ainsi :n u b a cn+1 X = AX + Bn+1 n Si la suite (X ) admet une limite , on a nécessairement :n = A + B (I A) = B 1 1
 Où : I A = b 1 a Si I A est inversible, tout va bien. On retrouve la condition a + b 1. Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 Page 2 G. COSTANTINIW - W W W W - W - - W W - Dans, ce cas, en posant : Y = X n n On obtient une suite (Y ) qui est géométrique. En effet :n Y = X = A(Y + ) + B = AYn+1 n+1 n n n n On en déduit : Y = A Y = A (X )n 0 0 nD'où : X = A (X ) + n 0 Le calcul de X (et donc de u ) se fait à l'aide des puissances de la matrice A et de .n n Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 Page 3 G. COSTANTINI