Suites : RÉsumÉ de cours et mÉthodes 1GÉnÉralitÉs DÈFINITION Une suite numrique est une liste de nombres, rangs et numrots : •À l’entier 0 correspond le nombre notU0 •À l’entier 1 correspond le nombre notU1 ∙ ∙ ∙ •À l’entierncorrespond le nombre notUn(appel terme de la suite de rangn). La suite est note(Un) Remarque : Ne pas confondre(Un)qui reprsente lasuite, etUnqui est lenombrereprsentant le terme de la suite de rangn. Il y a principalement deux manires de dfinir une suite :
11Suite dÉfinie de faÇon explicite Dans ce cas, on dispose d’une formule permettant de calculer directementUnen fonction den. C’est À dire qu’il existe une fonctionfdfinie sur[0;+∞[telle que, pour tout entiern,Un=f(n). Exemples : 1)Soit(Un), la suite dfinie parUn=3n+4. Le premier terme de la suite est alorsU0=3×0+4=4 (on remplacenpar 0). U1=3×1+4=7 (on remplacenpar 1). U10=3×10+4=34 (on remplacenpar 10). Pour toutn,Un+1=3×(n+1) +4=3n+3+4=3n+7 (on remplacenparn+1). 2 2)Soit(Un), la suite dfinie parUn=n. 2 22 On a :U0=0=0 ,U1=1=1,U2=2=4. 2 2 Et pour toutn,Un+1= (n+1) =n+2n+1 . ReprÉsentation graphique d’une suite dÉfinie de faÇon explicite :Dans un repre orthogonal, on place les points d’abscisse net d’ordonneUn(que l’on ne joint pas entre eux!). Cela revient À ne tracer que les points d’abscisses entires de la courbe reprsentative de la fonctionf. 2 Avec la suite de l’exemple 2Un=n, cela donne la reprsentation graphique suivante :
12Suite dÉfinie par une relation de rÉcurrence Dans ce cas lÀ, il n’y a plus de formule permettant de calculer directementUnen fonction den, mais on dispose d’une relation (dite de rcurrence) permettant de calculer le terme de rangn+1 À partir de celui de rangn. Ainsi, en connaissant le premier termeU0, on peut calculer le terme suivantU1. Puis avecU1, on peut calculer le terme suivantU2, etc... D’un point de vue mathmatique, la suite est dfinie par : le terme initialU0et la relation de rcurrence :Un+1=f(Un)(oÙfest une fonction dfinie sur un intervalleItel que :U0∈Iet pour toutxdeI,f(x)∈I).