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Surlintersectiondescourbesm´eromorphes
Abdallah Assi
Re´sum´eemonusd´sunetronoignevsreldolabmuorefunlecaloleeudoN: aG.M.Greuel.Ellelielesmultiplicit´esdintersectiondedeuxcourbes m´eromorphesetdeleurJacobien.Unedesapplicationsdecetteformule estlare´ponsedansuncasparticulierauprobl`emeJacobiendansleplan. On the intersection of meromorphic curves Abstractprove a global version of a local formula due to G.M. Greuel.: We It links the intersection multiplicities of two meromorphic curves and their Jacobian. Oneof the applications of this formula is the answer to the plane Jacobian problem in a particular case.
Introduction
n n1 Soitf=y+a1(x)y+. . .+an(xmeˆoitunreaideu)pnlonyC((x))[y,]u`o C((xneiceoca`sehprosrpcolensdatsrospleceisngd)e´eromesm´´eridess) des nombres complexesC. LorsquefC[[x]][yeiss]8[r]ieT,eqr´ue´eadntmo int(f, fy) = int(fx, fy) +ndnitie´ceitetsrelamsignplicultio,1e´dtniu``aon l’origine etfx, fyleeldsesd´eriv´eespartise´dengieltnf[3] et [4], nous. Dans avonsdonne´uneversionglobaledecette´egalit´e:pr´ecisement,lorsquefC[x][y], alors int(f, fy) = int(fx, fy) +n1 +Afutienrtsdec´teisignel,oi`nno 2 dansCetAfNest tel queAf= 0 si et seulement si la famille (fλ)λCst´eeera`ile`niuguqsi])[4],[3i(ninlonetonettecsnaD.su´gnee´arilossn cette´egalit´eaucasou`fynrtselpme´eacrlpaacejieobJ(f, g),gnnaut´te polynˆomeunitairedeC((x))[y]. Nousdonnons ensuite deux applications: danslapremie`renousobtenonsunthe´ore`meded´ecompositiondeJ(f, g)
Universite´dAngers,Math.,49045Angerscedex01,France,email:assi@univangers.fr
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lorsquefD´.enraalsiseunth´eorc`ueimteldbe.MeerelCei(c[´7g]n)eeirstedr´ ladeuxie`meondonneuner´eponseauproble`meJacobienlorsquefC[x][y] etquelabrege´n´eriquedelafamille(fλ)λCi.`oaplinnxulpcasesse`eded 2 Leproble`meJacobiendansCceonmmcosen´:tseiu (CJ) Soitf, gC[x, y]. SiJ(f, g)C, alorsC[f, g] =C[x, y]. Supposons quefospeds`neeuluesalpea`ecnilni,parleLemmedbAyhnaakr Moh,silamultiplicite´dintersectionint(fx, fy)derivesd´aptre´seseeillfxet 2 2 fydancCest 0, il existe un automorphismeσdeCtel queσ(f) =fσ 2 estunecoordonne´edeCA.qu´est)eCJ,(siinsaesa`lneetvilae:vantnsuirtio (*) SoitfC[x, y]. Sifrola,insacpluxdeinl`aes`sdepsoqseupeul J(f, g)/Cpour toutgC[x, y]. Enparticulier,nousd´emontronsici(*)lorsquelabreg´ene´riquedelafamille (fλ)λCi.ninl`aesaclpxuedede`ssop
1Suitescaract´eristiques n n1 Soitf=y+a1(x)y+. . .+an(xomnˆrreiun)lypoibctdu´edeleC((x))[y], o`uC((xgnel´esipsdeecorirsesse´moro´mreesphend))x`oeaciecdstnsnaC. n SifC[[x]][y], alors on suppose de plus quef(0, y) =y´htelraP.eemr`eo 1/n de Newton il existey(x)C((x)) tel quef(x, y(x)) = 0, de plusf(x, y) = Q P i/n n(yy(wx)). Soity(x) =aixet soit supp(y(x)) ={i, ai6= 0}. w=1i Les exposants de NewtonPuiseux defmocsusem´dtninesoit: |m0|=n,m1= inf{isupp(y(x));nne divise pasi}, et pour toutk2: mk= inf{isupp(y(x));dk= pgcd(m0, . . . , mk1) ne divise pasi} Puisque pgcd (n, supp(f)) = 1, alors il existehNtel quedh+1On= 1. note par conventionmh+1= +. Remarquonsque la suite (mk)kne depend pas du choix de la raciney(x). Soit finalement la suite (rk)k0rapeine´d:|r0|=n,r1=m1et pour tout 2kh+ 1:rk=rk1.(dk1/dk) +mkmk1. 1 Remarque 1(voir [2]) SoitfC[[x]][y] (resp.fC[x][y]). L’ensemble 1 desmultiplicit´esdintersectionint(f, g),gC[[x]][y] (resp.gC[x][y]), ou`int(f, gneerdrolneigesd´)xse´rudultantenydefetg, est un semi groupe,not´eΓ(f), deZles notations cidessus, pour tout. Aveck= 0, . . . , h, rk>0 (resp.rk<0) etr0, r1, . . . , rhengendrent Γ(f). 1/q De´nition1Soitu(x)C((xntcotdace))dnO.ne´eltiuavecfpar cont(f, u(x)) = maxw=1Ox(u(x)y(wx,o`u))Oxesigd´eenrordenlx. Soit n 2
gledectib´edueirrˆnmoopylnuC((x))[yltinnocetcatrtneeOn].ed´fetg par cont(f, g) = cont(g, y(x))N.asdunnoitinpdnepedeuesqonot´eedttce choix de la raciney(x) def.
2Ler´esultatprincipal n n1m m1 Soitf=y+a1(x)y+. . .+an(x) etg=y+b1(x)y+. . .+bm(x) deuxpolynˆomesunitairesdansC((x))[ytoneNewte]tiosr`eoedemrlpah´eT Q Q n m Puiseux, dansC((x))[y],f(x, y) =(yyi(x)) etg(x, y() =yi=1j=1 1/n zj(xruottu)),o`upoi= 1, . . . , n(resp.j= 1, . . . , m),yi(x)C((x)) 1/m (resp.zj(x)C((x))). NotonsJ(f, g) =fxgyfygx. Avecces notations on a la Proposition suivante: Proposition 1du´erreileibctomposanturtoutecnoqseuopuSppsofidans C((x))[y]def,int(fi, g)6= 0, alors on a: int(f, J(f, g)) = int(f, fy) + int(f, g)n. D´emonstration.Soitfθenocpmsonaetri´rdecuitlbdeeufdansC((x))[y] et 1/nθ conside´ronsuneracineyα(x)C((x)) defθ(x, y`ou=),0nθ= degyfθ, alors: int(fθ, J(f, g)) =nθ.Ox(J(f, g)(x, yα(x))) Q PQ m =n .O(( (y(x)y(x))).( (z .θ xi6=α αi k=1k j6=(yα(x)zj(x)))) k P QQ m ( k=1j6=k(yα(x)zj(x))).(yα(x) (yαyi))) i6=α Q PQ m ′ ′ =n .O(( (y).(yθ xi6=α αyi)).( (yαzk j6=k αzj))) k=1 Q PQ m ′ ′ z).(yz))) =nθ.(Ox( (yαyi)) +Ox(k=1(yαk j6=jk α i6=α Q MaintenantOx( (yαyi)) = int(fθ, fy)/nθ. Deplus i6=α Q m int(fθ, g) =nθ.Ox( (yαzj)), j=1 donc,parhypothe`se, P Q m n ′ ′ Ox( (yz).(yαzj)) = int(fθ, g)/nθ1, k=1α kj6=k finalement int(fθ, J(f, g)) = int(fθ, fy) + int(fθ, g)nθimplique notre. Ceci assertion.
Remarque 2Lorsquef, gC{x}[y],laformulecideulsussdtsea`eueurG ([6]).
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