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´ ` SUR LES THEOREMES D’ANNULATION ET DE FINITUDE DE T. OHSAWA ET O. ABDELKADER
JeanPierre DEMAILLY Institut Fourier B.P. 74 38402 – ST MARTIN D’HERES, France
Lobjetdecettenoteestdedonnerunede´monstrationaussisimplequepossibledes th´eore`mesdannulationetdenitudedus`aT.Ohsawa[7],[8],etdesg´ene´ralisationsdeces th´eor`emesobtenuesparO.Abdelkader[1],[2]. SoitXte´iravetylanae´unoinemsncompiquededilexen .On suppose queXest faiblement 1compl`ete,cest`adirequeXiqonrmhaussorilupnoitsuahxednoiunefonctposs`edeeuψde classeC,berai´reeluinn´odmoonrneohnoslereitmehpheitneEaudessus deX .Nous rede´montronslesr´esultatssuivants.
Th´eor`emedannulation[1], [8]. —aliSirav´te´eXenteirnelhe´kta¨edeformssiela courbure deEest semipositive de rang>sen tout point deX ,alors
p,q H(X, E) = 0
pour
p+q>2ns+ 1.
The´or`emedefinitude[2], [7]. —On suppose que la forme de courbure deEest semipositive de rang>s´lpmnemeriatentetpountoicoduX\Yd’une partie compacte YX ,et queXneentimiepreshouqirte´menuede`sαuiqsurneene´ira¨lhsektX\Y .Alors p,q dimH(X, E)<+pourp+q>2ns= 1.
Th´eore`medisomorphisme[2], [7]. —Soitψune fonction d’exhaustion plurisous harmonique de classeCsurX .NotonsXc={xX;ψ(x)< c}, cR.On suppose que X, Y, Ee´roe`emedntidue.Silenteri´evhtudsese`htopyhsXccontient le compactY ,alors le morphisme de restriction p,q p,q H(X, E)H(Xc, E)
est un isomorphisme pourp+q>2ns+ 1.
Notationsodesuenntiusno,eoustlate.anDquenem´etriαseruk¨ah´lreeinnX(resp. hermitienne surXnneire´lha¨kteesurX\Y),et une fonction d’exhaustion plurisousharmonique ψde classeCsurX(l’existence deαetψ`eidnscolega´ere`htopyhsnO.)seser´esultedeemtn uneme´triquehermitienneωsurX ,eedidaalt`truiconsseraquimeneeiru´treetluαetψ .On ′ ′′2 de´signeparD=D+Dla connexion canonique deE ,parc(E) =Dsa forme de courbure, ′ ′′ parδ=δ+δl’adjoint deDuqirte´metiverela`alamentω .On note enfinLrluedtera´eop multiplicationext´erieureparω ,et Λ l’adjoint deL .SiA, Bse´rgdedeesssmhtidropnemonedso ∞ ∞ respectifsa, bde l’espaceC(X, E) =⊕C(X, Eussertnerlleisdme´eide)orsfXa`valeurs ,p,q ab′ ′′ dansE ,on note [A, B] =AB(1)BA .ΔiertmaostnΔtapeLsdurelBcelaseLetare´po alorsd´enispar ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ Δ = [D , δ] =D δ+,δ D [Δ = δD , ].