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Th´eor`emesdanalyseetleurde´monstration
22mars2010
IThe´ore`mesportantsurlesfonctionscontinues
Th´eor`eme1(desvaleursinterme´diaires)Soitfuenofcnleursr´etion`avaeinocteellee´dsnruinntsuue 2 intervalleI.Soit(a, b)Iaveca < betf(a)< f(b)(resp.f(a)f(b)). Pour touty[f(a), f(b)](resp. y[f(b), f(a)]), il existex[a, b]tel quey=f(x).
Autrement dit, la fonctionfprend toutes les valeurs entref(a) etf(buecedeevllidnere`rtsnoita)e´omL.da en cours. Ici on emploie la dichotomie. D´emonstrationuo`asecslonitratsuoN.f(a)< f(b),le casf(a)f(biatnain`tedtreamnal)osereaug.e Poure´tablirleth´eor`emedesvaleursinterme´diaires,nousallonsutiliserleproce´de´dedichotomie.On construitparre´currencedeuxsuites(an)net (bn)ncontenues dans [a, bprrosplentyata]eiuavtnse´itee´ss: 1.a0=aetb0=b; 2. lessuites (an)net (bn)nsont adjacentes; 3.nN, f(an)yf(bn). Avantdeconstruirepr´ecis´ementlesdeuxsuites,voyonscommentconclure. (padr`es2.,lessuitesan)net (bn)ntemiloicmveneˆmenusrevtnegrex.De plusx[a, b],`rsedpa1.. la fonctionfunit´rusenatenoctI,donc sur [a, b],elle est continue enx.s´equent,Parcon limf(anlim) =f(bn) =f(x). n+n+ouveontrt3.,emen:`antlilanpEsaasnelrdacetimsnad f(x)yf(x). Do`uy=f(x.´ethleet)ilbate´tseeme`ro
Ilrestea`construirelessuites(an) et (bnsuininlpqseuomnipliqdapeuerlp)´rrarucencreile:sneitag proce´de´dedichotomie!Commeindiqu´ea0=aetb0=b.ahca´euqesop`uqOupnsetapende construction f(an)yf(bn). ` an+bn Al´etape(n+ 1),enimrete´dnoc=f( ).netn:te´esesrpugerdseuxcaDe 2 an+bn sic > y,alors on posean+1=anetbn+1= ; 2 an+bn sicy,alors on posean= etbn+1=bn. 2 Les suites (an)net (bn)ntesvtruient´eriaocsnniiss(teuissles,urlei´etroprlespbienarli..aPe.3te´1san)n et (bn)nsont bien adjacentes. En effet : (an)nest croissante par construction; (bn)niossed´trsceaprnaet bnan construction ;nN, anbnet limbnan= 0 carnN, bn+1an+1quicond=uit`aec 2 n+b0a0 bnan=npour toutnN. 2 2
Corollaire 1Soitfvrlanietrunuunseontieetceniesd´llee´rsruelava`nioctonefunleI.Alorsf(I),l’image directe deIparf, est un intervalle.
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