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Universit´edeNice D´epartementdeMath´ematiques
Analyse : notes du cours 11 Limitesetcontinuite´
Ann´ee2007-2008 LicenceMI/SM1eann´ee
Lesnotionsdelimitesdunefonctionenunpoint,celledecontinuite´dunefonctionetcelledelimites dunefonctiona`linnisontdeja`connues.Lobjetdececoursestdedonnerlesde´nitionsformalis´ees decesimportantesnotionsetdepre´senterquelquesunesdeleurspropri´et´es.
1. Limite d’une fonction en un point Soitf:RRet soientaetLmulelimls.Laforedxu´reexaf(x) =L, qui se lit “La limite def quandxtend versase´te`aegallfgan¸ice,,sdieformoninq,euleelf(x) est arbitrairement proche deL d`esquexesttr`esprochedea. Ou encore que l’on a|f(x)L|< εpour n’importe quelε, aussi petit que l’on veut, pourvu que|xa|soit assez petit. Alorsquecettenotiondelimiteae´t´e´etudie´eparlesmathe´maticiensdepuislantiquite´etplusac-tivementapre`slintroductionducalculdi´erentieletint´egralparLeibnitzetNewtonau17esie`cle,ila falluattendreWeierstass(1815-1897)pourvoirapparaˆıtrelade´nitionformalis´eesuivantequetousles mathe´maticiensutilisent`apre´sent(ditede´nitionεδ) : D´enition:On dit que la fonctionx7→f(x) tend versLlorsquextend versae,´nottlimecrixaf(x) = L, si et seulement si l’on a ε >0δ >0|xa|< δ⇒ |f(x)L|< ε.
Fig.1 – Illustration de la definitionεδde limxaf(x) =L.
Exemple :A titre d’exemple montrons que limx3(4x5) = 7. Pour cela on commence pardeviner quelle valeur deδon pourait choisir en fonction deεetteceuqefri´envsouinpioitledae´ntasiafripours valeur convient bien. On remarque que|(4x5)7|< ε´esircreepnetueroc|4x12|< ε, soit 4|x3|< ε. On voit que ε ε cetteine´galit´eestvraied`esque|x3|<serneesO.pna`opodcnδ=oix,.cechiavoencsVq´eurno 4 4 a bien limx3(4x5) = 7. ε Pour toutε >0, posonsδ= etmontrons que si|x3|< δalors|f(x)7|< ε. En effet sixest tel 4 ε que|x3|<, on a bien alors 4 ε |f(x)7|=|(2x5)7|= 4|x3|<4 =ε. 4
Notons que la condition|xa|< δsis´ceiratsuδ <|xa|< δneneeroca`oubiaδ < x < a+δ. Doncxeadtesrfoacihsppasliuqsrole´italegn´eittceitatsnaneerhc(egauaparlsoitraptr)euoi,snftiri´e ladroite(enrestantsup´erieur),soitennenpassantduncote´a`lautrea`saguise.Lorsquonimposea` xde tendre versaedt´eentserdtnaeˆmuocema, on obtient les notions dete`agaucheilimet demite`ali droite.
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