7 jours d'essai offerts
Cet ouvrage et des milliers d'autres sont disponibles en abonnement pour 8,99€/mois
Universit´edeNice D´epartementdeMath´ematiques
Ann´ee2007-2008 LicenceMI/SM1eann´ee
Analyse : notes du cours 4 Extrema d’une fonction de deux variables 1.Convexit´e: De´nition:enucnofdnOuqtiabivleontierd´x7→f(x) estconvexesur un intervalleI=]a, b[Rsi sa de´rive´eestcroissantesurI(etstrictement convexesi elle est strictement croissante). On dit qu’elle est 1 concavere´dasistseee´viroisd´ece(etsantstrictement concaveroecsaismeted´ntstsecirtiselletne.) 2 13 Ainsix7→xetx7→sont convexes surRet ]0,+[ respectivement. La fonctionx7→xn’est x ni convexe ni concave surRmais elle est convexe sur [0,+[ et concave sur ],0]. Notons qu’une fonctionfest concave si et seulement si la fonctionfest convexe. Voiciuneproprie´te´caracte´ristiquedelaconvexite´quenouspourronsge´n´eraliserauxfonctionsde deux variables. Proposition 1Une fonctionfseusuad-sphdeenrgir´aetu´estsieluesteiosistnemsteeblvaesexnvco detoutessestangentes,cest-a`-diresi,entoutpointx0, on a pour toutx: 0 f(x)f(x0) +f(x0)(xx0).(1) Cetteine´galite´quis´ecritaussif(x)L(x),o`uL(xs´rideeeilalae´ntse)fau pointx0, montre que lapproximationdunefonctionconvexeparsaline´aris´eeesttoujoursunesous-estimationdelavaleur exacte.Lastricteconvexit´ecorresponda`lameˆmede´nition,maisavecuneine´galit´estricte. Preuve :´vreevexeicnibein´eettet´e(galinosop,)1sruoPuorpqrevunuonefioctonncg(x) =f(x)L(x) 0 00 et montrons quegest une fonction positive ou nulle. On ag(x0) = 0 et d’autre partg(x) =f(x)f(x0). 0 00 00 Commefest croissante, on af(x)f(x0)0 sixx0etf(x)f(x0)0 sixx0. Donc la fonctiongourets´dceorsiastnpexx0et croissante pourxx0. Elle reste donc toujours positive. 0 Re´ciproquement,pourmontrerqueftsinpouxdensrotcroesdie´ocsntn,esiasx0etx1deItels que 0 0 x0x1et montrons quef(x0)f(x1e(t´au1)´einliga.)Lnioptx0est satisfaite si l’on prend pourxla valeurx1, 0 f(x1)f(x0) +f(x0)(x1x0) etlameˆmein´egalite´aupointx1cette fois est satisfaite si l’on prend pourxla valeurx0 0 f(x0)f(x1) +f(x1)(x0x1). f xf xf xf x 01 01 00 Ilenr´esultequedunepartf(x0)et d’autre partf(x1) (en se souvenant x1x0x1x0 0 0 quex0x1u`oD.)f(x0)f(x1).Lacaracte´risationpr´ec´edentesege´ne´ralisefacilementauxfonctionsdedeuxvariables: 2 D´enition:On dit qu’une fonction (x, y)7→f(x, yd)e´irblvaesetconvexeosisargneehpiststu´e au-dessusdetoussesplanstangents,cest-`a-diresientoutpoint(x0, y0), on a pour tout (x, y) : ∂f ∂f f(x, y)f(x0, y0() +x0, y0) (xx0() +x0, y0) (yy0) ∂x ∂y Ici encore laconvictestre´tixetresteicunetonefoitce´dnavirselberat´liga´einl`aradnopserrocconcavesi songrapheestsitue´en-dessousdetoussesplanstangents(cest-`a-direlorsquonauralameˆmeine´galite´ maisinverse´e).Anouveau,unefonctionfest concave lorsque la fonctionfest convexe. G´eom´etriquement,unefonctionconvexeaungraphehalersveutseottie´´teeirnedontncavlaco, comme 2 2 le bolf(x, y) =x+yelevsre´tiotseneiree´theapntdocolaavncitnooccnvaaenurgalorsquunefonc 2 2 bas comme le chapeauf(x, y) =9xy. Un planf(x, y) =ax+by+c`astecnvaeetalofsioc 2 2 convexe (mais pas strictement) et une sellef(x, y) =xyn’est ni concave ni convexe. 1 Enfait,lanotiondeconvexite´existeplusg´en´eralement,pourtoutefonctionde´rivableounon(voirparexemple http ://fr.wikipedia.org/wiki/fonction convexe) 2 On appelle iciableerivd´eillseC.e´seaptrtmieonntsaucasodnetsrfaoinrceqnoiopiufenutcnod´uxiver`essdede duneseulevariable,cetted´erivabilite´la`nentrainepasquelafonctionpuisseeˆtresusammentbienapproche´e parsaline´aris´ee.Pourquecesoitlecas,ilfaudrademandera`lafonctiondˆetred´eiailbertne(voir par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/diffe´rentielle).
1