Cet ouvrage et des milliers d'autres font partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour les lire en ligne
En savoir plus

Partagez cette publication

NE ILLUSTRATION
IV – Dérivabilité
 GRAPHIQUED U NOMBRED ÉRIVÉ
   U --------------------- 2 MEILLEURE APPROXIMATION AFFINE-------------------------------------- - 6 LES TANGENTES DABORD--------------------------------------------------- -10 DEUX POINTS,UNE SEULE TANGENTE-------------------------------------- 12 DEUX COURBES,UNE SEULE TANGENTE------------------------------------ 14 UNE TANGENTE CHEZTORRICELLI------------------------------------------ 18 UNE TANGENTE PAR LA CINÉMATIQUE CHEZTORRICELLI--------------- 2 0 DÉRIVONS EN VITESSE------------------------------------------------------ -22       
 
 
UNE ILLUSTRATION GRAPHIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉ    ObjectifIllustrer graphiquement la définition du nombre dérivé.  OutilsDéfinition du nombre dérivé et de la tangente.    Il sagit de donner un sens mathémateitq udeil lustrer graphiquement la phrase : « Pour des abscisses suffisamment prochxe0s, enuuoc edrb Ce est aussi prochqeu’onle souhaite de sa tangen tenM0d’abscissxe0 ».       A. Rappel de cours Soitf une fonction définie sur un intervalleI non réduit à un point, etx0 point de unI. SoitC sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère(O ;i;j)et soitAle point deCd’abscissex0 . Les deux propositions suivantes sont équivalentes,métant un réel : • la fonctionh6f(x0+hh)f(x0)admetmpour limite en0 • Il existe un intervalle ouvertJcontenant 0 et une fonctionεdéfinie surJtelle que, pour touth  élément deJ,f(x0 + h)= f(x0)+ m h+ hε(h) etlhim0ε(h)=0. Si l’une des deux propositions précédentes est vraie on dit que : a.fest dérivable enx0et le nombre dérivé defenx0, notéf ’(x0), est égal àm. b.Cadmet pour tangente au pointAla droitepassant parA,de coefficient directeurm. On peut interpréter graphiquement cette dernière définition en disant que : des abscisses« Pour suffisamment proches dex0,Cest aussi proche qu’on le souhaite de la tangente».
 B. Exercice Soitf fonction définie sur un intervalle uneI réduit à un réel, et nonx0 un élément deI. SoitC sa courbe représentative dans un repère etAle point deCd’abscissex0 . On suppose qu’au pointAd’abscissex0,Cadmet pour tangente une droitede coefficient directeur m. Il existe donc une fonctionεdéfinie surItelle que :f(x0+h)=f(x0)+mh+hε(h) aveclhim0ε(h)=0. De la nullité de cette limite, on déduit que l’on a pour tout entier naturel non nuln:1≤ ε(h)1, à n n condition queh soit suffisamment proche de0 Pour. Soit encore : « tout entier naturel non nuln, il existe un réel strictement positifhn, dépendant den, tel que : sihnhhn alors1≤ ε(h)1» . n n  
IV – Dérivabilité Une illustration graphique du nombre dérivé
2
Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin