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UniversitÉ Henri PoincarÉ, Nancy 1 lcma2 s3 standard et cpu2 2011–2012
Anneaux
DÉpartement de MathÉmatiques AlgÈbre-ArithmÉtique Feuille 03
¯ 1.SoitAun anneau unitaire.Aest l’ensemble sous-jacent ÀAmuni des ¯ opÉrations suivantes :ab=a+b+ 1etab=ab+a+b. MontrerqueA est un anneau unitaire isomorphe ÀA. 2.Montrer que, si un anneau unitaire intÈgre a un ÉlÉment non nul idem-2 potents, c’est-À-dire tel quee=e, cet anneau est unitaire d’ÉlÉment neutre e. 3.Un anneau de Boole est un anneau unitaire dont tous les ÉlÉments sont 2 idempotents, c’est-À-dire tels quex=x. 1. Montrer que tout ÉlÉmentxvÉrifiex+x= 0, et qu’un tel anneau est commutatif. 2. Montrerque siAest intÈgre alors card(A)2.
3 4.SoitAun anneau unitaire de caractÉristique 2 tel quex=xpour tout xA. MontrerqueAest commutatif. 5.SoitAun anneau unitaire etaun ÉlÉment nilpotent deA, c’est-À-dire tel n que il existenNvÉrifianta= 0. Montrerque sixAest inversible et commute aveca, alorsxaest inversible et donner son inverse. 6.Montrer que2Z/14Zest un corps. 7.Montrer que tout anneau intÈgre admettant un nombre fini d’ÉlÉments est un corps. 8.SoitAun anneau commutatif tel que pour toutxA, il existe un entier n n2tel quex=x. 1. Montrerque0est le seul ÉlÉment nilpotent deA. 2. Montrerque tout ÉlÉment deAengendre un sous-groupe additif fini dont l’ordre n’est divisible par aucun carrÉ sauf 1. 3. Montrer que siAcontient un ÉlÉmentenon diviseur de0, alorsAest unitaire.
9.SoitAun anneau unitaire dont la caractÉristique est diffÉrente de 2 et tel queyx∈ {xy,xy}pour toutx, yA. MontrerqueAest commutatif. √ √ 10.SoitZ[ 2]le sous-ensemble deRconstituÉ des nombres de la formea+b2 avecaZetbZ. MontrerqueZ[ 2]est un sous-anneau deR.
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